Algebra Beispiele

$V (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Schritt 1

Die Funktion $6 (r)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $V (r)$ .

$6 (r) = \int V (r) d r$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{3}$ .

$\int \frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3} d r$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{π \cdot 4}{3}$ und $r^{3}$ .

$\int \frac{π \cdot 4 r^{3}}{3} d r$

Schritt 2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\int \frac{4 π r^{3}}{3} d r$

Schritt 3

Da $\frac{4 π}{3}$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $\frac{4 π}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{4 π}{3} \int r^{3} d r$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $r^{3}$ nach $r$ gleich $\frac{1}{4} r^{4}$ .

$\frac{4 π}{3} (\frac{1}{4} r^{4} + C)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{4 π}{3} (\frac{1}{4} r^{4} + C)$ als $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4} r^{4} + C$ um.

$\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4} r^{4} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 π}{3 \cdot 4} r^{4} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{4 π}{12} r^{4} + C$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 π$ heraus.

$\frac{4 (π)}{12} r^{4} + C$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 π}{4 \cdot 3} r^{4} + C$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 π}{4 \cdot 3} r^{4} + C$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{3} r^{4} + C$

Schritt 6

Die Funktion $6$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$6 (r) = \frac{π}{3} r^{4} + C$