Algebra Beispiele

$2 \log_{4} (64) = 3 \log_{4} (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $3 \log_{4} (x) = 2 \log_{4} (64)$ um.

$3 \log_{4} (x) = 2 \log_{4} (64)$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache $3 \log_{4} (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{4} (x^{3}) = 2 \log_{4} (64)$

Schritt 2.2

Vereinfache $2 \log_{4} (64)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{4} (x^{3}) = \log_{4} (64^{2})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{3} = 64^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $64^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 64^{2} = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $64$ mit $2$ .

$x^{3} - 1 \cdot 4096 = 0$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4096$ .

$x^{3} - 4096 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $4096$ als $16^{3}$ um.

$x^{3} - 16^{3} = 0$

Schritt 4.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 16$ .

$(x - 16) (x^{2} + x \cdot 16 + 16^{2}) = 0$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Bringe $16$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 16) (x^{2} + 16 x + 16^{2}) = 0$

Schritt 4.3.3.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$(x - 16) (x^{2} + 16 x + 256) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 16 = 0$

$x^{2} + 16 x + 256 = 0$

Schritt 4.5

Setze $x - 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 16$ gleich $0$ .

$x - 16 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 16$

Schritt 4.6

Setze $x^{2} + 16 x + 256$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x^{2} + 16 x + 256$ gleich $0$ .

$x^{2} + 16 x + 256 = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $x^{2} + 16 x + 256 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 16$ und $c = 256$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.2.3.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ .

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Schritt 4.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.3

Subtrahiere $1024$ von $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.4

Schreibe $- 768$ als $- 1 (768)$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (768)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.7

Schreibe $768$ als $16^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $256$ aus $768$ heraus.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.7.2

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.1.9

Bringe $16$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

Schritt 4.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 16) (x^{2} + 16 x + 256) = 0$ wahr machen.

$x = 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$