Algebra Beispiele

$\sqrt{648} = \sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$ um.

$\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}) = \ln (\sqrt{648})$

Schritt 3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$ als ${(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (\sqrt{648})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{2} \ln (2^{a} \cdot 3^{b}) = \ln (\sqrt{648})$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (2^{a} \cdot 3^{b})$ als $\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})$ um.

$\frac{1}{2} (\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Schritt 3.4

Zerlege $\ln (2^{a})$ durch Herausziehen von $a$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Schritt 3.5

Zerlege $\ln (3^{b})$ durch Herausziehen von $b$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3))$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (a \ln (2)) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (a \ln (2))$ .

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Schritt 4.1.2.1

Kombiniere $a$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a}{2} \ln (2) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere $\frac{a}{2}$ und $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $\frac{1}{2} (b \ln (3))$ .

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Schritt 4.1.3.1

Kombiniere $b$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b}{2} \ln (3) = \ln (\sqrt{648})$

Schritt 4.1.3.2

Kombiniere $\frac{b}{2}$ und $\ln (3)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{648})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\ln (\sqrt{648})$ .

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Schritt 5.1.1

Schreibe $648$ als $18^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $324$ aus $648$ heraus.

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{324 (2)})$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{18^{2} \cdot 2})$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$

Schritt 6

Multipliziere jeden Term in $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ mit $2$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Schritt 6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Schritt 6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Schritt 6.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$a \ln (2) + b \ln (3) = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (18 \sqrt{2})$ .

$a \ln (2) + b \ln (3) = 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$a \ln (2) + b \ln (3) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = 0$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $b \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a \ln (2) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = - b \ln (3)$

Schritt 8.2

Addiere $2 \ln (18 \sqrt{2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$