Algebra Beispiele

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{((0) - 3)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $\frac{x^{2}}{9} + \frac{{((0) - 3)}^{2}}{25}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{{(- 3)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 1.2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{9}{25} = 1$

Schritt 1.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $\frac{9}{25}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{9} = 1 - \frac{9}{25}$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{9} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{9} = \frac{25 - 9}{25}$

Schritt 1.2.2.4

Subtrahiere $9$ von $25$ .

$\frac{x^{2}}{9} = \frac{16}{25}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{x^{2}}{9} = 9 (\frac{16}{25})$

Schritt 1.2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{x^{2}}{9} = 9 (\frac{16}{25})$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 9 (\frac{16}{25})$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere $9 (\frac{16}{25})$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kombiniere $9$ und $\frac{16}{25}$ .

$x^{2} = \frac{9 \cdot 16}{25}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$x^{2} = \frac{144}{25}$

Schritt 1.2.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{144}{25}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{144}{25}}$ .

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe $\sqrt{\frac{144}{25}}$ als $\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.2.1

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{12^{2}}}{\sqrt{25}}$

Schritt 1.2.6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{12}{\sqrt{25}}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.6.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \frac{12}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 1.2.6.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{12}{5}$

Schritt 1.2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{12}{5}$

Schritt 1.2.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{12}{5}$

Schritt 1.2.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{12}{5}, - \frac{12}{5}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{12}{5}, 0), (- \frac{12}{5}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{{(0)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $\frac{{(0)}^{2}}{9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{25} = 1 - \frac{{(0)}^{2}}{9}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $1 - \frac{{(0)}^{2}}{9}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{25} = 1 - \frac{0}{9}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $0$ durch $9$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{25} = 1 - 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{25} = 1 + 0$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 2.2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $25$ .

$25 \frac{{(y - 3)}^{2}}{25} = 25 \cdot 1$

Schritt 2.2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 2.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \frac{{(y - 3)}^{2}}{25} = 25 \cdot 1$

Schritt 2.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 3)}^{2} = 25 \cdot 1$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.2.1

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

${(y - 3)}^{2} = 25$

Schritt 2.2.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 3 = \pm \sqrt{25}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y - 3 = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y - 3 = \pm 5$

Schritt 2.2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 3 = 5$

Schritt 2.2.7.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.7.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5 + 3$

Schritt 2.2.7.2.2

Addiere $5$ und $3$ .

$y = 8$

Schritt 2.2.7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 3 = - 5$

Schritt 2.2.7.4

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.7.4.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 5 + 3$

Schritt 2.2.7.4.2

Addiere $- 5$ und $3$ .

$y = - 2$

Schritt 2.2.7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 8, - 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 8), (0, - 2)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{12}{5}, 0), (- \frac{12}{5}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 8), (0, - 2)$

Schritt 4