Algebra Beispiele

$0.25 x + 1 = \sqrt{- x} + 4$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{- x} + 4 = 0.25 x + 1$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{- x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{- x} = 0.25 x + 1 - 4$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\sqrt{- x} = 0.25 x - 3$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- x}}^{2} = {(0.25 x - 3)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x}$ als ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(0.25 x - 3)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.25 x - 3)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.25 x - 3)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- x)}^{1} = {(0.25 x - 3)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$- x = {(0.25 x - 3)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(0.25 x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(0.25 x - 3)}^{2}$ als $(0.25 x - 3) (0.25 x - 3)$ um.

$- x = (0.25 x - 3) (0.25 x - 3)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(0.25 x - 3) (0.25 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x = 0.25 x (0.25 x - 3) - 3 (0.25 x - 3)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x = 0.25 x (0.25 x) + 0.25 x \cdot - 3 - 3 (0.25 x - 3)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x = 0.25 x (0.25 x) + 0.25 x \cdot - 3 - 3 (0.25 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- x = 0.25 \cdot 0.25 x \cdot x + 0.25 x \cdot - 3 - 3 (0.25 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$- x = 0.25 \cdot 0.25 (x \cdot x) + 0.25 x \cdot - 3 - 3 (0.25 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 4.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x = 0.25 \cdot 0.25 x^{2} + 0.25 x \cdot - 3 - 3 (0.25 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $0.25$ mit $0.25$ .

$- x = 0.0625 x^{2} + 0.25 x \cdot - 3 - 3 (0.25 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 4.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.25$ .

$- x = 0.0625 x^{2} - 0.75 x - 3 (0.25 x) - 3 \cdot - 3$

Schritt 4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $0.25$ mit $- 3$ .

$- x = 0.0625 x^{2} - 0.75 x - 0.75 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 4.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$- x = 0.0625 x^{2} - 0.75 x - 0.75 x + 9$

Schritt 4.3.1.3.2

Subtrahiere $0.75 x$ von $- 0.75 x$ .

$- x = 0.0625 x^{2} - 1.5 x + 9$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$0.0625 x^{2} - 1.5 x + 9 = - x$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$0.0625 x^{2} - 1.5 x + 9 + x = 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 1.5 x$ und $x$ .

$0.0625 x^{2} - 0.5 x + 9 = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $0.0625$ aus $0.0625 x^{2} - 0.5 x + 9$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $0.0625$ aus $0.0625 x^{2}$ heraus.

$0.0625 (x^{2}) - 0.5 x + 9 = 0$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $0.0625$ aus $- 0.5 x$ heraus.

$0.0625 (x^{2}) + 0.0625 (- 8 x) + 9 = 0$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $0.0625$ aus $9$ heraus.

$0.0625 x^{2} + 0.0625 (- 8 x) + 0.0625 \cdot 144 = 0$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $0.0625$ aus $0.0625 x^{2} + 0.0625 (- 8 x)$ heraus.

$0.0625 (x^{2} - 8 x) + 0.0625 \cdot 144 = 0$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $0.0625$ aus $0.0625 (x^{2} - 8 x) + 0.0625 \cdot 144$ heraus.

$0.0625 (x^{2} - 8 x + 144) = 0$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $0.0625 (x^{2} - 8 x + 144) = 0$ durch $0.0625$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $0.0625 (x^{2} - 8 x + 144) = 0$ durch $0.0625$ .

$\frac{0.0625 (x^{2} - 8 x + 144)}{0.0625} = \frac{0}{0.0625}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.0625$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.0625 (x^{2} - 8 x + 144)}{0.0625} = \frac{0}{0.0625}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 8 x + 144$ durch $1$ .

$x^{2} - 8 x + 144 = \frac{0}{0.0625}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Dividiere $0$ durch $0.0625$ .

$x^{2} - 8 x + 144 = 0$

Schritt 5.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = 144$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 144)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 144}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 144$ .

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Schritt 5.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 144}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $144$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 576}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.3

Subtrahiere $576$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 512}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.4

Schreibe $- 512$ als $- 1 (512)$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 512}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (512)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{512}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{512}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{512}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.7

Schreibe $512$ als $16^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.7.1.7.1

Faktorisiere $256$ aus $512$ heraus.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{256 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.7.2

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (16 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.9

Bringe $16$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{8 \pm 16 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 16 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 16 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 \pm 8 i \sqrt{2}$

Schritt 5.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 + 8 i \sqrt{2}, 4 - 8 i \sqrt{2}$