Algebra Beispiele

$\frac{x + 4}{2 x + 10} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 10$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 (x) + 10} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 x + 2 \cdot 5} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 5$ heraus.

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} - \frac{5}{x^{2} - 5^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 2

Um $\frac{x + 4}{2 (x + 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$

Schritt 3

Um $- \frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (x + 5) (x - 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x + 4}{2 (x + 5)}$ mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 5)}{2 (x + 5) (x - 5)} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 5)}{2 (x + 5) (x - 5)} - \frac{5 \cdot 2}{(x + 5) (x - 5) \cdot 2}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 5) (x - 5) \cdot 2$ um.

$\frac{(x + 4) (x - 5)}{2 (x + 5) (x - 5)} - \frac{5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 4) (x - 5) - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x + 4) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 5) + 4 (x - 5) - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 (x - 5) - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 \cdot x + 4 x + 4 \cdot - 5 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 x - 20 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 5 x$ und $4 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 20 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} - x - 20 - 10}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6.4

Subtrahiere $10$ von $- 20$ .

$\frac{x^{2} - x - 30}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $x^{2} - x - 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 30$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 6, 5$

Schritt 6.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 6) (x + 5)}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 6) (x + 5)}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 6}{2 (x - 5)}$