Algebra Beispiele

$\frac{x}{\sqrt{x + 11}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x + 11}}$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{x + 11}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{\sqrt{x + 11}} = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} + 1$

Schritt 1.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$\sqrt{x + 11}, \sqrt{x + 11}, 1$

Schritt 1.2.2

Da $\sqrt{x + 11}, \sqrt{x + 11}, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil ${\sqrt{x + 11}}^{1}, {\sqrt{x + 11}}^{1}$ .

Schritt 1.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.2.6

Der Teiler von ${\sqrt{x + 11}}^{1}$ ist $\sqrt{x + 11}$ selbst.

${\sqrt{x + 11}}^{1} = \sqrt{x + 11}$

$\sqrt{x + 11}$ occurs $1$ time.

Schritt 1.2.7

Das kgV von ${\sqrt{x + 11}}^{1}, {\sqrt{x + 11}}^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$\sqrt{x + 11}$

Schritt 1.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{\sqrt{x + 11}} = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} + 1$ mit $\sqrt{x + 11}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{\sqrt{x + 11}} = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} + 1$ mit $\sqrt{x + 11}$ .

$\frac{x}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} + 1 \sqrt{x + 11}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{x + 11}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} + 1 \sqrt{x + 11}$

Schritt 1.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} + 1 \sqrt{x + 11}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{x + 11}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{\sqrt{x + 11}} \sqrt{x + 11} + 1 \sqrt{x + 11}$

Schritt 1.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1 + 1 \sqrt{x + 11}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{x + 11}$ mit $1$ .

$x = 1 + \sqrt{x + 11}$

Schritt 1.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + \sqrt{x + 11} = x$ um.

$1 + \sqrt{x + 11} = x$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 11} = x - 1$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 11}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 11}$ als ${(x + 11)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 11)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x + 11 = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$x + 11 = (x - 1) (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 11 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 11 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 11 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 11 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x + 11 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x + 11 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x + 11 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + 11 = x^{2} - x - x + 1$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x + 11 = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 2 x + 1 = x + 11$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 11$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 11$

Schritt 4.3

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x + 1 - 11 = 0$

Schritt 4.4

Subtrahiere $11$ von $1$ .

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 4.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4.7

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.8

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 2$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{x}{\sqrt{x + 11}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x + 11}}$ nicht erfüllen.

$x = 5$