Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 2$

$x = - 1$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 2, - 1$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 2) (x + 1) = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 8.2.2

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 8.2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 8.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 1$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 4)}^{2} ((- 4) + 2)}{((- 4) + 2) ((- 4) + 1)} \leq 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 5.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1.5$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 1.5)}^{2} ((- 1.5) + 2)}{((- 1.5) + 2) ((- 1.5) + 1)} \leq 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 4.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.5$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $- 0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} ((- 0.5) + 2)}{((- 0.5) + 2) ((- 0.5) + 1)} \leq 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $0.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(2)}^{2} ((2) + 2)}{((2) + 2) ((2) + 1)} \leq 0$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $1.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Falsch

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $- 2 < x < - 1$ oder $x = 0$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 2 or - 2 < x < - 1 or x = 0$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup [0, 0]$

Schritt 13