Algebra Beispiele

$x = \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + 11$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + 11 = x$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + 11 = x$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y + 11 = x$

Schritt 1.3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y + 11 - x = 0$

Schritt 1.4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (2 y) + 2 \cdot 11 + 2 (- x) = 0$

Schritt 1.4.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (2 y) + 2 \cdot 11 + 2 (- x) = 0$

Schritt 1.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 2 (2 y) + 2 \cdot 11 + 2 (- x) = 0$

Schritt 1.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} + 4 y + 2 \cdot 11 + 2 (- x) = 0$

Schritt 1.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $11$ .

$y^{2} + 4 y + 22 + 2 (- x) = 0$

Schritt 1.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} + 4 y + 22 - 2 x = 0$

Schritt 1.4.3

Bewege $22$ .

$y^{2} + 4 y - 2 x + 22 = 0$

Schritt 1.4.4

Bewege $4 y$ .

$y^{2} - 2 x + 4 y + 22 = 0$

Schritt 1.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = - 2 x + 22$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x + 22))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $22$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 88}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.6

Subtrahiere $88$ von $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x - 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.7

Faktorisiere $8$ aus $8 x - 72$ heraus.

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Schritt 1.7.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) - 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $- 72$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot - 9$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.8

Schreibe $8 (x - 9)$ als $2^{2} \cdot (2 (x - 9))$ um.

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Schritt 1.7.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{2 (x - 9)}$

Schritt 1.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $22$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 88}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.6

Subtrahiere $88$ von $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x - 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.7

Faktorisiere $8$ aus $8 x - 72$ heraus.

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Schritt 1.8.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) - 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $- 72$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot - 9$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.8

Schreibe $8 (x - 9)$ als $2^{2} \cdot (2 (x - 9))$ um.

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Schritt 1.8.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$

Schritt 1.8.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{2 (x - 9)}$

Schritt 1.8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 9)}$

Schritt 1.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $22$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 88}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.6

Subtrahiere $88$ von $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x - 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.7

Faktorisiere $8$ aus $8 x - 72$ heraus.

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Schritt 1.9.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) - 72}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $- 72$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot - 9$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.8

Schreibe $8 (x - 9)$ als $2^{2} \cdot (2 (x - 9))$ um.

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Schritt 1.9.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$

Schritt 1.9.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{2 (x - 9)}$

Schritt 1.9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 9)}$

Schritt 1.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 9)}$

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 9)}$

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 9)}$

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 9)}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Die Standardform ist $- 2 + \sqrt{2 (x - 9)}, - 2 - \sqrt{2 (x - 9)}$ .

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 9)}$

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 9)}$

Schritt 4