Algebra Beispiele

$2^{x} \cdot 3^{x + 1} = 15$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x} \cdot 3^{x + 1}) = \ln (15)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (2^{x} \cdot 3^{x + 1})$ als $\ln (2^{x}) + \ln (3^{x + 1})$ um.

$\ln (2^{x}) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (15)$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (15)$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (3^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (15)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (15)$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) = \ln (15)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) - \ln (15) = 0$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3}{15}) = 0$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $15$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{15}) = 0$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}) = 0$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}) = 0$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Schritt 7

Subtrahiere $\ln (\frac{1}{5})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) + x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 8

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2) + x \ln (3)$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (2)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 8.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (2)) + x (\ln (3))$ heraus.

$x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$ durch $\ln (2) + \ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$ durch $\ln (2) + \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3))}{\ln (2) + \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2) + \ln (3)$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3))}{\ln (2) + \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Dezimalform:

$x = 0.89824440 \dots$