Algebra Beispiele

$y^{4} = 2 - y^{2}$

Schritt 1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{4} + y^{2} = 2$

Schritt 2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{4} + y^{2} - 2 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{2})}^{2}$ um.

${(y^{2})}^{2} + y^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.2

Es sei $u = y^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $y^{2}$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $u^{2} + u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Schritt 3.4

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$(y^{2} - 1) (y^{2} + 2) = 0$

Schritt 3.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(y^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 2) = 0$

Schritt 3.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$(y + 1) (y - 1) (y^{2} + 2) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

$y - 1 = 0$

$y^{2} + 2 = 0$

Schritt 5

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 6

Setze $y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $y - 1$ gleich $0$ .

$y - 1 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1$

Schritt 7

Setze $y^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $y^{2} + 2$ gleich $0$ .

$y^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.2

Löse $y^{2} + 2 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = - 2$

Schritt 7.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 7.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 7.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 7.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = i \sqrt{2}$

Schritt 7.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - i \sqrt{2}$

Schritt 7.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y + 1) (y - 1) (y^{2} + 2) = 0$ wahr machen.

$y = - 1, 1, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$