Algebra Beispiele

f (x) = | 2 x - 3 |

$f (x) = | 2 x - 3 |$

Schritt 1

Schreibe

f (x) = | 2 x - 3 |

$f (x) = | 2 x - 3 |$ als Gleichung.

y = | 2 x - 3 |

$y = | 2 x - 3 |$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

x = | 2 y - 3 |

$x = | 2 y - 3 |$

Schritt 3

Löse nach

y

$y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als

| 2 y - 3 | = x

$| 2 y - 3 | = x$ um.

| 2 y - 3 | = x

$| 2 y - 3 | = x$

Schritt 3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein

\pm

$\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da

| x | = \pm x

$| x | = \pm x$ .

2 y - 3 = \pm x

$2 y - 3 = \pm x$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

2 y - 3 = x

$2 y - 3 = x$

Schritt 3.3.2

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 y = x + 3

$2 y = x + 3$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in

2 y = x + 3

$2 y = x + 3$ durch

2

$2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in

2 y = x + 3

$2 y = x + 3$ durch

2

$2$ .

\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere

y

$y$ durch

1

$1$ .

y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

2 y - 3 = - x

$2 y - 3 = - x$

Schritt 3.3.5

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 y = - x + 3

$2 y = - x + 3$

Schritt 3.3.6

Teile jeden Ausdruck in

2 y = - x + 3

$2 y = - x + 3$ durch

2

$2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Teile jeden Ausdruck in

2 y = - x + 3

$2 y = - x + 3$ durch

2

$2$ .

\frac{2 y}{2} = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 y}{2} = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.6.2.1.2

Dividiere

y

$y$ durch

1

$1$ .

y = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}$

y = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}$

y = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 4

Ersetze

y

$y$ durch

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob

f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ die Umkehrfunktion von

f (x) = | 2 x - 3 |

$f (x) = | 2 x - 3 |$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von

f (x) = | 2 x - 3 |

$f (x) = | 2 x - 3 |$ und

f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von

f (x) = | 2 x - 3 |

$f (x) = | 2 x - 3 |$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen

y

$y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

[0, \infty)

$[0, \infty)$

[0, \infty)

$[0, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von

\frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von

f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ nicht gleich dem Wertebereich von

f (x) = | 2 x - 3 |

$f (x) = | 2 x - 3 |$ ist, ist

f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ keine inverse Funktion von

f (x) = | 2 x - 3 |

$f (x) = | 2 x - 3 |$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6