Algebra Beispiele

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 (t^{2} - 16) = - 6$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 t^{2} + 19 \cdot - 16 = - 6$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $19$ mit $- 16$ .

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 t^{2} - 304 = - 6$

Schritt 2

Setze $u = t^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$3 u^{2} - 77 u + 464 = - 6$

$u = t^{2}$

Schritt 3

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 u^{2} - 77 u + 464 + 6 = 0$

Schritt 4

Addiere $464$ und $6$ .

$3 u^{2} - 77 u + 470 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 470 = 1410$ und deren Summe gleich $b = - 77$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 77$ aus $- 77 u$ heraus.

$3 u^{2} - 77 u + 470 = 0$

Schritt 5.1.2

Schreibe $- 77$ um als $- 30$ plus $- 47$

$3 u^{2} + (- 30 - 47) u + 470 = 0$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} - 30 u - 47 u + 470 = 0$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} - 30 u) - 47 u + 470 = 0$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 u (u - 10) - 47 (u - 10) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 10$ .

$(u - 10) (3 u - 47) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 10 = 0$

$3 u - 47 = 0$

Schritt 7

Setze $u - 10$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $u - 10$ gleich $0$ .

$u - 10 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 10$

Schritt 8

Setze $3 u - 47$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $3 u - 47$ gleich $0$ .

$3 u - 47 = 0$

Schritt 8.2

Löse $3 u - 47 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $47$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 u = 47$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 47$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 47$ durch $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{47}{3}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u}{3} = \frac{47}{3}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{47}{3}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 10) (3 u - 47) = 0$ wahr machen.

$u = 10, \frac{47}{3}$

Schritt 10

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = t^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$t^{2} = 10$

${(t^{2})}^{1} = \frac{47}{3}$

Schritt 11

Löse die erste Gleichung nach $t$ auf.

$t^{2} = 10$

Schritt 12

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 12.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$t = \pm \sqrt{10}$

Schritt 12.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = \sqrt{10}$

Schritt 12.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - \sqrt{10}$

Schritt 12.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}$

Schritt 13

Löse die zweite Gleichung nach $t$ auf.

${(t^{2})}^{1} = \frac{47}{3}$

Schritt 14

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 14.1

Entferne die Klammern.

$t^{2} = \frac{47}{3}$

Schritt 14.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$t = \pm \sqrt{\frac{47}{3}}$

Schritt 14.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{47}{3}}$ .

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Schritt 14.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{47}{3}}$ als $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ um.

$t = \pm \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 14.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 14.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 14.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 14.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 14.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 14.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 14.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 14.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 14.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 14.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 14.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 14.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 14.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.3.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$t = \pm \frac{\sqrt{47 \cdot 3}}{3}$

Schritt 14.3.4.2

Mutltipliziere $47$ mit $3$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{141}}{3}$

Schritt 14.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 14.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = \frac{\sqrt{141}}{3}$

Schritt 14.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Schritt 14.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Schritt 15

Die Lösung von $3 t^{4} - 77 t^{2} + 464 = - 6$ ist $t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$ .

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Dezimalform:

$t = 3.16227766 \dots, - 3.16227766 \dots, 3.95811402 \dots, - 3.95811402 \dots$