Algebra Beispiele

$x^{3} - 27 x < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} - 27 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 27 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 27 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 27 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 27 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 27$ heraus.

$x (x^{2} - 27) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 27 = 0$

Schritt 4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $x^{2} - 27$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} - 27$ gleich $0$ .

$x^{2} - 27 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} - 27 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 27$

Schritt 5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{27}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{27}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \pm \sqrt{9 (3)}$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 3 \sqrt{3}$

Schritt 5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 \sqrt{3}$

Schritt 5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 \sqrt{3}$

Schritt 5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} - 27) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3 \sqrt{3}$

$- 3 \sqrt{3} < x < 0$

$0 < x < 3 \sqrt{3}$

$x > 3 \sqrt{3}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3 \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3 \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 8)}^{3} - 27 \cdot - 8 < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 296$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 \sqrt{3} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 \sqrt{3} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 3)}^{3} - 27 \cdot - 3 < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $54$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 3 \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 3 \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(3)}^{3} - 27 \cdot 3 < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $- 54$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3 \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3 \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 8.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(8)}^{3} - 27 \cdot 8 < 0$

Schritt 8.4.3

Die linke Seite $296$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3 \sqrt{3}$ Wahr

$- 3 \sqrt{3} < x < 0$ Falsch

$0 < x < 3 \sqrt{3}$ Wahr

$x > 3 \sqrt{3}$ Falsch

$x < - 3 \sqrt{3}$ Wahr

$- 3 \sqrt{3} < x < 0$ Falsch

$0 < x < 3 \sqrt{3}$ Wahr

$x > 3 \sqrt{3}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 3 \sqrt{3}$ oder $0 < x < 3 \sqrt{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 3 \sqrt{3} or 0 < x < 3 \sqrt{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3 \sqrt{3}) \cup (0, 3 \sqrt{3})$

Schritt 11