Algebra Beispiele

$\frac{3 + \sqrt{18}}{1 + \sqrt{8}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{3 + \sqrt{9 (2)}}{1 + \sqrt{8}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 + \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{1 + \sqrt{8}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{8}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3 + 3 \sqrt{2}}{1 + 2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{1 - 2 \sqrt{2}}{1 - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(3 + 3 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})}{(1 + 2 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(3 + 3 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})}{1 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{(3 + 3 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Schritt 5

Multipliziere $(3 + 3 \sqrt{2}) (1 - 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (1 - 2 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} (1 - 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- 2 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} (1 - 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- 2 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} \cdot 1 + 3 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 + 3 (- 2 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} \cdot 1 + 3 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \cdot 1 + 3 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 7}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $3 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} \sqrt{2}}{- 7}$

Schritt 6.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 7}$

Schritt 6.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 7}$

Schritt 6.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 7}$

Schritt 6.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 {\sqrt{2}}^{2}}{- 7}$

Schritt 6.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 7}$

Schritt 6.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 7}$

Schritt 6.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 7}$

Schritt 6.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 7}$

Schritt 6.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \cdot 2^{1}}{- 7}$

Schritt 6.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 6 \cdot 2}{- 7}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{3 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 12}{- 7}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $12$ von $3$ .

$\frac{- 9 - 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{- 7}$

Schritt 6.3

Addiere $- 6 \sqrt{2}$ und $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 9 - 3 \sqrt{2}}{- 7}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{- 9 - 3 \sqrt{2}}{7}$

Schritt 8

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$- \frac{- 1 (9) - 3 \sqrt{2}}{7}$

Schritt 9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{- 1 (9) - (3 \sqrt{2})}{7}$

Schritt 10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (9) - (3 \sqrt{2})$ heraus.

$- \frac{- 1 (9 + 3 \sqrt{2})}{7}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{9 + 3 \sqrt{2}}{7}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{9 + 3 \sqrt{2}}{7}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $\frac{9 + 3 \sqrt{2}}{7}$ mit $1$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{2}}{7}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9 + 3 \sqrt{2}}{7}$

Dezimalform:

$1.89180581 \dots$