Algebra Beispiele

$4 x^{5} - 12 x^{4} + 9 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $4 x^{5} - 12 x^{4} + 9 x^{3}$ als Gleichung.

$y = 4 x^{5} - 12 x^{4} + 9 x^{3}$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 x^{5} - 12 x^{4} + 9 x^{3}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{5} - 12 x^{4} + 9 x^{3} = 0$ um.

$4 x^{5} - 12 x^{4} + 9 x^{3} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 x^{5} - 12 x^{4} + 9 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 x^{5}$ heraus.

$x^{3} (4 x^{2}) - 12 x^{4} + 9 x^{3} = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 12 x^{4}$ heraus.

$x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (- 12 x) + 9 x^{3} = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (- 12 x) + x^{3} \cdot 9 = 0$

Schritt 2.2.2.1.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (- 12 x)$ heraus.

$x^{3} (4 x^{2} - 12 x) + x^{3} \cdot 9 = 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (4 x^{2} - 12 x) + x^{3} \cdot 9$ heraus.

$x^{3} (4 x^{2} - 12 x + 9) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.2.2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$x^{3} ({(2 x)}^{2} - 12 x + 9) = 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x^{3} ({(2 x)}^{2} - 12 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 3$

Schritt 2.2.2.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$x^{3} ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.2.2.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 3$ .

$x^{3} {(2 x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

${(2 x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 2.2.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.2.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.2.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.2.5

Setze ${(2 x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze ${(2 x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(2 x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.2.5.2

Löse ${(2 x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.2.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.2.5.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 2.2.5.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.5.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.5.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.5.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.5.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} {(2 x - 3)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{3}{2}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{3}{2}, 0)$

Schritt 3

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 {(0)}^{5} - 12 {(0)}^{4} + 9 {(0)}^{3}$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{5} - 12 {(0)}^{4} + 9 {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{5} - 12 \cdot 0^{4} + 9 {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{5} - 12 \cdot 0^{4} + 9 \cdot 0^{3}$

Schritt 3.2.4

Entferne die Klammern.

$y = 4 {(0)}^{5} - 12 {(0)}^{4} + 9 {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache $4 {(0)}^{5} - 12 {(0)}^{4} + 9 {(0)}^{3}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 12 {(0)}^{4} + 9 {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 - 12 {(0)}^{4} + 9 {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.5.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 12 \cdot 0 + 9 {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.5.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 9 {(0)}^{3}$

Schritt 3.2.5.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 + 9 \cdot 0$

Schritt 3.2.5.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\frac{3}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 5