Algebra Beispiele

$4 x^{2} - 4 a^{2} x + (a^{4} - b^{4}) = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 4 a^{2}$ und $c = a^{4} - b^{4}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(- 4 a^{2})}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (a^{4} - b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(- 4 a^{2})}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (a^{4} - b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2

Es sei $u = 4 \cdot (a^{4} - b^{4})$ . Ersetze $u$ für alle $4 \cdot (a^{4} - b^{4})$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 4 a^{2}$ an.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} {(a^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 {(a^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 a^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 a^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 a^{4} - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $16 a^{4} - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16 a^{4}$ heraus.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4}) - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 a^{4}) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - u)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.4

Ersetze alle $u$ durch $4 \cdot (a^{4} - b^{4})$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 \cdot (a^{4} - b^{4})))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 a^{4} + 4 (- b^{4})))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 a^{4} - 4 b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 a^{4}) - (- 4 b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - 4 a^{4} - (- 4 b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - 4 a^{4} + 4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.5.2

Subtrahiere $4 a^{4}$ von $4 a^{4}$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (0 + 4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.5.3

Addiere $0$ und $4 b^{4}$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 \cdot (4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 b^{4}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $16 b^{4}$ als ${(4 b^{2})}^{2}$ um.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(4 b^{2})}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 a^{2} \pm 4 b^{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm 4 b^{2}}{8}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{4 a^{2} \pm 4 b^{2}}{8}$ .

$x = \frac{a^{2} \pm b^{2}}{2}$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

$x = \frac{(a + b) (a - b)}{2}$