Algebra Beispiele

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{- x} - 5$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = {(\frac{1}{2})}^{- x} - 5$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{1}{2})}^{- x} - 5 = 0$ um.

${(\frac{1}{2})}^{- x} - 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1^{- x}}{2^{- x}} - 5 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2^{- x}} - 5 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{2^{- x}} = 5$

Schritt 1.2.4

Multipliziere beide Seiten mit $2^{- x}$ .

$\frac{1}{2^{- x}} \cdot 2^{- x} = 5 \cdot 2^{- x}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{- x}$ .

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Schritt 1.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2^{- x}} \cdot 2^{- x} = 5 \cdot 2^{- x}$

Schritt 1.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 5 \cdot 2^{- x}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe die Gleichung als $5 \cdot 2^{- x} = 1$ um.

$5 \cdot 2^{- x} = 1$

Schritt 1.2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $5 \cdot 2^{- x} = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cdot 2^{- x} = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 \cdot 2^{- x}}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 2^{- x}}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2

Dividiere $2^{- x}$ durch $1$ .

$2^{- x} = \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.6.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{- x}) = \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 1.2.6.4

Zerlege $\ln (2^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$- x \ln (2) = \ln (\frac{1}{5})$

Schritt 1.2.6.5

Teile jeden Ausdruck in $- x \ln (2) = \ln (\frac{1}{5})$ durch $- \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \ln (2) = \ln (\frac{1}{5})$ durch $- \ln (2)$ .

$\frac{- x \ln (2)}{- \ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- \ln (2)}$

Schritt 1.2.6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- \ln (2)}$

Schritt 1.2.6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 1.2.6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- \ln (2)}$

Schritt 1.2.6.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- \ln (2)}$

Schritt 1.2.6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2)}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2)}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(\frac{1}{2})}^{- (0)} - 5$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = {(\frac{1}{2})}^{- (0)} - 5$

Schritt 2.2.2

Vereinfache ${(\frac{1}{2})}^{- (0)} - 5$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = {(\frac{1}{2})}^{0} - 5$

Schritt 2.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = \frac{1^{0}}{2^{0}} - 5$

Schritt 2.2.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = \frac{1}{2^{0}} - 5$

Schritt 2.2.2.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = \frac{1}{1} - 5$

Schritt 2.2.2.1.5

Dividiere $1$ durch $1$ .

$y = 1 - 5$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$y = - 4$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 4)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2)}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 4)$

Schritt 4