Algebra Beispiele

$y = \sqrt[3]{3 x + 2} + 5$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{3 y + 2} + 5$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{3 y + 2} + 5 = x$ um.

$\sqrt[3]{3 y + 2} + 5 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[3]{3 y + 2} = x - 5$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{3 y + 2}}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 y + 2}$ als ${(3 y + 2)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(3 y + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(3 y + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 y + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 y + 2)}^{1} = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$3 y + 2 = {(x - 5)}^{3}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(x - 5)}^{3}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$3 y + 2 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$3 y + 2 = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$3 y + 2 = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$3 y + 2 = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Schritt 2.4.3.1.2.4

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$3 y + 2 = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Schritt 2.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 - 2$

Schritt 2.5.1.2

Subtrahiere $2$ von $- 125$ .

$3 y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 127$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 127$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 127$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 15 x^{2}}{3} + \frac{75 x}{3} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 15 x^{2}}{3} + \frac{75 x}{3} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 15 x^{2}}{3} + \frac{75 x}{3} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $3$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 15 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 (- 5 x^{2})}{3} + \frac{75 x}{3} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 (- 5 x^{2})}{3 (1)} + \frac{75 x}{3} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 (- 5 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{75 x}{3} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 5 x^{2}}{1} + \frac{75 x}{3} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.3.1.1.2.4

Dividiere $- 5 x^{2}$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + \frac{75 x}{3} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $75$ und $3$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $75 x$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + \frac{3 (25 x)}{3} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + \frac{3 (25 x)}{3 (1)} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + \frac{3 (25 x)}{3 \cdot 1} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + \frac{25 x}{1} + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2.4

Dividiere $25 x$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x + \frac{- 127}{3}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{3 x + 2} + 5$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 {(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{2} + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe ${(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{2}$ als $(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 ((\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)) + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 (\sqrt[3]{3 x + 2} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) + 5 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)) + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 (\sqrt[3]{3 x + 2} \sqrt[3]{3 x + 2} + \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5 + 5 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)) + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 (\sqrt[3]{3 x + 2} \sqrt[3]{3 x + 2} + \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{3 x + 2} + 5 \cdot 5) + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.3.1.1

Multipliziere $\sqrt[3]{3 x + 2} \sqrt[3]{3 x + 2}$ .

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Schritt 4.2.3.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt[3]{3 x + 2}$ mit $1$ .

Schritt 4.2.3.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt[3]{3 x + 2}$ mit $1$ .

Schritt 4.2.3.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 ({\sqrt[3]{3 x + 2}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{3 x + 2} + 5 \cdot 5) + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 ({\sqrt[3]{3 x + 2}}^{2} + \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{3 x + 2} + 5 \cdot 5) + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.3.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{3 x + 2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{3 x + 2} + 5 \cdot 5) + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{3 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 5 \cdot \sqrt[3]{3 x + 2} + 5 \sqrt[3]{3 x + 2} + 5 \cdot 5) + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 5 \sqrt[3]{3 x + 2} + 5 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25) + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.3.2

Addiere $5 \sqrt[3]{3 x + 2}$ und $5 \sqrt[3]{3 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 10 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25) + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} - 5 (10 \sqrt[3]{3 x + 2}) - 5 \cdot 25 + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} - 5 \cdot 25 + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.5.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $25$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} - 125 + 25 (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} - 125 + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \cdot 5 - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.3.7

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} - 125 + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + 125 - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} - 125 + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + 125 - \frac{127}{3}$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 125$ und $125$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 0 + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $\frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.5

Um $- 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.6.1

Kombiniere $- 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3}}{3} + \frac{- 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x + 2} + 5)}^{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.7.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{\sqrt[3]{3 x + 2}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{3 x + 2}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.7.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{3 x + 2}}^{3}$ als $3 x + 2$ um.

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Schritt 4.2.7.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 x + 2}$ als ${(3 x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{({(3 x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{3 x + 2}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{3 x + 2}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{3 x + 2}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.7.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.2.7.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{(3 x + 2) + 3 {\sqrt[3]{3 x + 2}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.2.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{3 x + 2 + 3 {\sqrt[3]{3 x + 2}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.2.2

Schreibe ${\sqrt[3]{3 x + 2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{3 x + 2 + 3 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{3 x + 2 + 15 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.2.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{3 x + 2 + 15 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{3 x + 2} \cdot 25 + 5^{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.2.5

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{3 x + 2 + 15 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{3 x + 2} + 5^{3} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.2.6

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{3 x + 2 + 15 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{3 x + 2} + 125 - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.3

Addiere $2$ und $125$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{3 x + 127 + 15 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{3 x + 2} - 5 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot 3}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{3 x + 127 + 15 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 75 \sqrt[3]{3 x + 2} - 15 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}}}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.5

Subtrahiere $15 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}}$ von $15 \sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{3 x + 127 + 0 + 75 \sqrt[3]{3 x + 2}}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.7.6

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = \frac{3 x + 127 + 75 \sqrt[3]{3 x + 2}}{3} - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} - \frac{127}{3}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + \frac{3 x + 127 + 75 \sqrt[3]{3 x + 2} - 127}{3}$

Schritt 4.2.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x + 127 + 75 \sqrt[3]{3 x + 2} - 127$ .

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Schritt 4.2.8.2.1

Subtrahiere $127$ von $127$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + \frac{3 x + 0 + 75 \sqrt[3]{3 x + 2}}{3}$

Schritt 4.2.8.2.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + \frac{3 x + 75 \sqrt[3]{3 x + 2}}{3}$

Schritt 4.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 x + 75 \sqrt[3]{3 x + 2}$ und $3$ .

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Schritt 4.2.8.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + \frac{3 (x) + 75 \sqrt[3]{3 x + 2}}{3}$

Schritt 4.2.8.3.2

Faktorisiere $3$ aus $75 \sqrt[3]{3 x + 2}$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + \frac{3 (x) + 3 (25 \sqrt[3]{3 x + 2})}{3}$

Schritt 4.2.8.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (25 \sqrt[3]{3 x + 2})$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + \frac{3 (x + 25 \sqrt[3]{3 x + 2})}{3}$

Schritt 4.2.8.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.8.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + \frac{3 (x + 25 \sqrt[3]{3 x + 2})}{3 (1)}$

Schritt 4.2.8.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + \frac{3 (x + 25 \sqrt[3]{3 x + 2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.2.8.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + \frac{x + 25 \sqrt[3]{3 x + 2}}{1}$

Schritt 4.2.8.3.4.4

Dividiere $x + 25 \sqrt[3]{3 x + 2}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = - 50 \sqrt[3]{3 x + 2} + 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + x + 25 \sqrt[3]{3 x + 2}$

Schritt 4.2.8.4

Addiere $- 50 \sqrt[3]{3 x + 2}$ und $25 \sqrt[3]{3 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = - 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + x + 25 \sqrt[3]{3 x + 2}$

Schritt 4.2.8.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 25 \sqrt[3]{3 x + 2} + x + 25 \sqrt[3]{3 x + 2}$ .

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Schritt 4.2.8.5.1

Addiere $- 25 \sqrt[3]{3 x + 2}$ und $25 \sqrt[3]{3 x + 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = x + 0$

Schritt 4.2.8.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x + 2} + 5) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) + 2} + 5$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x^{2}) + 3 (25 x) + 3 (- \frac{127}{3}) + 2} + 5$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x^{2}) + 3 (25 x) + 3 (- \frac{127}{3}) + 2} + 5$

Schritt 4.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 (- 5 x^{2}) + 3 (25 x) + 3 (- \frac{127}{3}) + 2} + 5$

Schritt 4.3.3.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 3 (25 x) + 3 (- \frac{127}{3}) + 2} + 5$

Schritt 4.3.3.2.3

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + 3 (- \frac{127}{3}) + 2} + 5$

Schritt 4.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{127}{3}$ in den Zähler.

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + 3 (\frac{- 127}{3}) + 2} + 5$

Schritt 4.3.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + 3 (\frac{- 127}{3}) + 2} + 5$

Schritt 4.3.3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 127 + 2} + 5$

Schritt 4.3.3.3

Addiere $- 127$ und $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

Schritt 4.3.3.4

Schreibe $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.3.4.1

Faktorisiere $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.3.3.4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

Schritt 4.3.3.4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Schritt 4.3.3.4.1.3

Setze $5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.3.3.4.1.3.1

Setze $5$ in das Polynom ein.

$5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

Schritt 4.3.3.4.1.3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

Schritt 4.3.3.4.1.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$125 - 15 \cdot 25 + 75 \cdot 5 - 125$

Schritt 4.3.3.4.1.3.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $25$ .

$125 - 375 + 75 \cdot 5 - 125$

Schritt 4.3.3.4.1.3.5

Subtrahiere $375$ von $125$ .

$- 250 + 75 \cdot 5 - 125$

Schritt 4.3.3.4.1.3.6

Mutltipliziere $75$ mit $5$ .

$- 250 + 375 - 125$

Schritt 4.3.3.4.1.3.7

Addiere $- 250$ und $375$ .

$125 - 125$

Schritt 4.3.3.4.1.3.8

Subtrahiere $125$ von $125$ .

$0$

Schritt 4.3.3.4.1.4

Da $5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125}{x - 5}$

Schritt 4.3.3.4.1.5

Dividiere $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ durch $x - 5$ .

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Schritt 4.3.3.4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$75 x$

$125$

Schritt 4.3.3.4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$

Schritt 4.3.3.4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Schritt 4.3.3.4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 4.3.3.4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Schritt 4.3.3.4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

Schritt 4.3.3.4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 10 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

Schritt 4.3.3.4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$50 x$

Schritt 4.3.3.4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 10 x^{2} + 50 x$

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$

Schritt 4.3.3.4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$

Schritt 4.3.3.4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

Schritt 4.3.3.4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $25 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

Schritt 4.3.3.4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	-	$125$

Schritt 4.3.3.4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $25 x - 125$

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$

Schritt 4.3.3.4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$
										$0$

Schritt 4.3.3.4.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 4.3.3.4.1.6

Schreibe $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ als eine Menge von Faktoren.

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 10 x + 25)} + 5$

Schritt 4.3.3.4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.3.4.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 10 x + 5^{2})} + 5$

Schritt 4.3.3.4.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 4.3.3.4.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})} + 5$

Schritt 4.3.3.4.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{(x - 5) {(x - 5)}^{2}} + 5$

Schritt 4.3.3.4.3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 4.3.3.4.3.1

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{(x - 5) {(x - 5)}^{2}} + 5$

Schritt 4.3.3.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{1 + 2}} + 5$

Schritt 4.3.3.4.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

Schritt 4.3.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = x - 5 + 5$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{3 x + 2} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - 5 x^{2} + 25 x - \frac{127}{3}$