Algebra Beispiele

$2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} = 0$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin^{2} (x) = \sqrt{3}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin^{2} (x) = \sqrt{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin^{2} (x) = \sqrt{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ als $\frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe $\sqrt{\sqrt{3}}$ als $\sqrt[4]{3}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $4$ .

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Schritt 4.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.5.1.2

Schreibe $2^{\frac{1}{2}}$ als $2^{\frac{2}{4}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Schritt 4.5.1.3

Schreibe $2^{\frac{2}{4}}$ als $\sqrt[4]{2^{2}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3 \cdot 2^{2}}}{2}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3 \cdot 4}}{2}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

Schritt 7

Löse in $\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt[4]{12}}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{\sqrt[4]{12}}{2})$ .

$x = 1.19606189$

Schritt 7.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 1.19606189$

Schritt 7.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 1.19606189$

Schritt 7.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 1.19606189$

Schritt 7.4.3

Subtrahiere $1.19606189$ von $3.14159265$ .

$x = 1.94553075$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.19606189 + 2 π n, 1.94553075 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Löse in $\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt[4]{12}}{2})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{\sqrt[4]{12}}{2})$ .

$x = - 1.19606189$

Schritt 8.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265$

Schritt 8.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 8.4.2

Der resultierende Winkel von $4.33765454$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265$ .

$x = 4.33765454$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.19606189$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.19606189 + 2 π$

Schritt 8.6.2

Subtrahiere $1.19606189$ von $2 π$ .

$5.08712341$

Schritt 8.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.08712341$

Schritt 8.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 4.33765454 + 2 π n, 5.08712341 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.19606189 + 2 π n, 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n, 5.08712341 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $1.19606189 + 2 π n$ und $4.33765454 + 2 π n$ zu $1.19606189 + π n$ zusammen.

$x = 1.19606189 + π n, 1.94553075 + 2 π n, 5.08712341 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10.2

Führe $1.94553075 + 2 π n$ und $5.08712341 + 2 π n$ zu $1.94553075 + π n$ zusammen.

$x = 1.19606189 + π n, 1.94553075 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$