Algebra Beispiele

$\sqrt{25 x} - \sqrt{16 x} = 3$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{25 x}$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $16 x$ als ${(2^{2})}^{2} x$ um.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{25 x} - \sqrt{4^{2} x} = 3$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{25 x} - \sqrt{{(2^{2})}^{2} x} = 3$

Schritt 1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{25 x} - (2^{2} \sqrt{x}) = 3$

Schritt 1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{25 x} - (4 \sqrt{x}) = 3$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\sqrt{25 x} - 4 \sqrt{x} = 3$

Schritt 1.2

Addiere $4 \sqrt{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{25 x} = 3 + 4 \sqrt{x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{25 x}}^{2} = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{25 x}$ als ${(25 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(25 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(25 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(25 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(25 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(25 x)}^{1} = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$25 x = {(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(3 + 4 \sqrt{x})}^{2}$ als $(3 + 4 \sqrt{x}) (3 + 4 \sqrt{x})$ um.

$25 x = (3 + 4 \sqrt{x}) (3 + 4 \sqrt{x})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(3 + 4 \sqrt{x}) (3 + 4 \sqrt{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = 3 (3 + 4 \sqrt{x}) + 4 \sqrt{x} (3 + 4 \sqrt{x})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = 3 \cdot 3 + 3 (4 \sqrt{x}) + 4 \sqrt{x} (3 + 4 \sqrt{x})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = 3 \cdot 3 + 3 (4 \sqrt{x}) + 4 \sqrt{x} \cdot 3 + 4 \sqrt{x} (4 \sqrt{x})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$25 x = 9 + 3 (4 \sqrt{x}) + 4 \sqrt{x} \cdot 3 + 4 \sqrt{x} (4 \sqrt{x})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 4 \sqrt{x} \cdot 3 + 4 \sqrt{x} (4 \sqrt{x})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 4 \sqrt{x} (4 \sqrt{x})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $4 \sqrt{x} (4 \sqrt{x})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 \sqrt{x} \sqrt{x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 {\sqrt{x}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 x^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$25 x = 9 + 12 \sqrt{x} + 12 \sqrt{x} + 16 x$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $12 \sqrt{x}$ und $12 \sqrt{x}$ .

$25 x = 9 + 24 \sqrt{x} + 16 x$

Schritt 4

Löse nach $24 \sqrt{x}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $9 + 24 \sqrt{x} + 16 x = 25 x$ um.

$9 + 24 \sqrt{x} + 16 x = 25 x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $24 \sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$24 \sqrt{x} + 16 x = 25 x - 9$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $16 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$24 \sqrt{x} = 25 x - 9 - 16 x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $16 x$ von $25 x$ .

$24 \sqrt{x} = 9 x - 9$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(24 \sqrt{x})}^{2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(24 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(24 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $24 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$24^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $24$ mit $2$ .

$576 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$576 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$576 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(9 x - 9)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$576 x^{1} = {(9 x - 9)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$576 x = {(9 x - 9)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(9 x - 9)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(9 x - 9)}^{2}$ als $(9 x - 9) (9 x - 9)$ um.

$576 x = (9 x - 9) (9 x - 9)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(9 x - 9) (9 x - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$576 x = 9 x (9 x - 9) - 9 (9 x - 9)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$576 x = 9 x (9 x) + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x - 9)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$576 x = 9 x (9 x) + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$576 x = 9 \cdot 9 x \cdot x + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$576 x = 9 \cdot 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$576 x = 9 \cdot 9 x^{2} + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$576 x = 81 x^{2} + 9 x \cdot - 9 - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$576 x = 81 x^{2} - 81 x - 9 (9 x) - 9 \cdot - 9$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 9$ .

$576 x = 81 x^{2} - 81 x - 81 x - 9 \cdot - 9$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$576 x = 81 x^{2} - 81 x - 81 x + 81$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $81 x$ von $- 81 x$ .

$576 x = 81 x^{2} - 162 x + 81$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$81 x^{2} - 162 x + 81 = 576 x$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $576 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$81 x^{2} - 162 x + 81 - 576 x = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $576 x$ von $- 162 x$ .

$81 x^{2} - 738 x + 81 = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $9$ aus $81 x^{2} - 738 x + 81$ heraus.

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Schritt 7.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $81 x^{2}$ heraus.

$9 (9 x^{2}) - 738 x + 81 = 0$

Schritt 7.3.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 738 x$ heraus.

$9 (9 x^{2}) + 9 (- 82 x) + 81 = 0$

Schritt 7.3.1.3

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$9 (9 x^{2}) + 9 (- 82 x) + 9 (9) = 0$

Schritt 7.3.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (9 x^{2}) + 9 (- 82 x)$ heraus.

$9 (9 x^{2} - 82 x) + 9 (9) = 0$

Schritt 7.3.1.5

Faktorisiere $9$ aus $9 (9 x^{2} - 82 x) + 9 (9)$ heraus.

$9 (9 x^{2} - 82 x + 9) = 0$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 9 = 81$ und deren Summe gleich $b = - 82$ ist.

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Schritt 7.3.2.1.1.1

Faktorisiere $- 82$ aus $- 82 x$ heraus.

$9 (9 x^{2} - 82 x + 9) = 0$

Schritt 7.3.2.1.1.2

Schreibe $- 82$ um als $- 1$ plus $- 81$

$9 (9 x^{2} + (- 1 - 81) x + 9) = 0$

Schritt 7.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (9 x^{2} - 1 x - 81 x + 9) = 0$

Schritt 7.3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$9 ((9 x^{2} - 1 x) - 81 x + 9) = 0$

Schritt 7.3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$9 (x (9 x - 1) - 9 (9 x - 1)) = 0$

Schritt 7.3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x - 1$ .

$9 ((9 x - 1) (x - 9)) = 0$

Schritt 7.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$9 (9 x - 1) (x - 9) = 0$

Schritt 7.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 x - 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 7.5

Setze $9 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $9 x - 1$ gleich $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Schritt 7.5.2

Löse $9 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = 1$

Schritt 7.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 7.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 7.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 7.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 7.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Schritt 7.6

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.6.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 7.6.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 7.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $9 (9 x - 1) (x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{9}, 9$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{25 x} - \sqrt{16 x} = 3$ nicht erfüllen.

$x = 9$