Algebra Beispiele

$2 + | 1 - \frac{x}{2} | \geq 5$

Schritt 1

Schreibe $2 + | 1 - \frac{x}{2} | \geq 5$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$1 - \frac{x}{2} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{x}{2} \geq - 1$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x}{2} \geq - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- \frac{x}{2} \geq - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{x}{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x}{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $\frac{x}{2}$ durch $1$ .

$\frac{x}{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\frac{x}{2} \leq 1$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \leq 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x \leq 2$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $1 - \frac{x}{2}$ nicht negativ ist.

$2 + 1 - \frac{x}{2} \geq 5$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$1 - \frac{x}{2} < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{x}{2} < - 1$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x}{2} < - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Term in $- \frac{x}{2} < - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{x}{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x}{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.5.2.2.2

Dividiere $\frac{x}{2}$ durch $1$ .

$\frac{x}{2} > \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\frac{x}{2} > 1$

Schritt 1.5.3

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 > 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot 2 > 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x > 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x > 2$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $1 - \frac{x}{2}$ negativ ist.

$2 - (1 - \frac{x}{2}) \geq 5$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 2 + 1 - \frac{x}{2} \geq 5 & x \leq 2 \\ 2 - (1 - \frac{x}{2}) \geq 5 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 1.8

Addiere $2$ und $1$ .

${\begin{cases} 3 - \frac{x}{2} \geq 5 & x \leq 2 \\ 2 - (1 - \frac{x}{2}) \geq 5 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $2 - (1 - \frac{x}{2}) \geq 5$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 3 - \frac{x}{2} \geq 5 & x \leq 2 \\ 2 - 1 \cdot 1 - - \frac{x}{2} \geq 5 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${\begin{cases} 3 - \frac{x}{2} \geq 5 & x \leq 2 \\ 2 - 1 - - \frac{x}{2} \geq 5 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3

Multipliziere $- - \frac{x}{2}$ .

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Schritt 1.9.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 3 - \frac{x}{2} \geq 5 & x \leq 2 \\ 2 - 1 + 1 \frac{x}{2} \geq 5 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

${\begin{cases} 3 - \frac{x}{2} \geq 5 & x \leq 2 \\ 2 - 1 + \frac{x}{2} \geq 5 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

${\begin{cases} 3 - \frac{x}{2} \geq 5 & x \leq 2 \\ 1 + \frac{x}{2} \geq 5 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $3 - \frac{x}{2} \geq 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{x}{2} \geq 5 - 3$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$- \frac{x}{2} \geq 2$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x}{2} \geq 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- \frac{x}{2} \geq 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{x}{2}}{- 1} \leq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x}{2}}{1} \leq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $\frac{x}{2}$ durch $1$ .

$\frac{x}{2} \leq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$\frac{x}{2} \leq - 2$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq - 2 \cdot 2$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq - 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \leq - 2 \cdot 2$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x \leq - 4$

Schritt 3

Löse $1 + \frac{x}{2} \geq 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{2} \geq 5 - 1$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{x}{2} \geq 4$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 4 \cdot 2$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 4 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \geq 4 \cdot 2$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x \geq 8$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 4$ oder $x \geq 8$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 4 or x \geq 8$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 4] \cup [8, \infty)$

Schritt 6