Algebra Beispiele

$\log_{9} (x - 4) + \log_{9} (x + 1) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((x - 4) (x + 1)) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 4) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (x (x + 1) - 4 (x + 1)) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 1 - 4 (x + 1)) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + x \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\log_{9} (x^{2} + x - 4 x - 4 \cdot 1) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\log_{9} (x^{2} + x - 4 x - 4) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $x$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} ((x + 5) (x - 6))$

Schritt 2.2

Multipliziere $(x + 5) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x (x - 6) + 5 (x - 6))$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x \cdot x + x \cdot - 6 + 5 (x - 6))$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x \cdot x + x \cdot - 6 + 5 x + 5 \cdot - 6)$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x^{2} + x \cdot - 6 + 5 x + 5 \cdot - 6)$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x^{2} - 6 \cdot x + 5 x + 5 \cdot - 6)$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x^{2} - 6 x + 5 x - 30)$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 6 x$ und $5 x$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x^{2} - x - 30)$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} - x - 30$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 4 - x^{2} = - x - 30$

Schritt 4.1.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 4 - x^{2} + x = - 30$

Schritt 4.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 3 x - 4 - x^{2} + x$ .

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Schritt 4.1.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 3 x - 4 + 0 + x = - 30$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $- 3 x - 4$ und $0$ .

$- 3 x - 4 + x = - 30$

Schritt 4.1.4

Addiere $- 3 x$ und $x$ .

$- 2 x - 4 = - 30$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 30 + 4$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 30$ und $4$ .

$- 2 x = - 26$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 26$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 26$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 26}{- 2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 26}{- 2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 26}{- 2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $- 26$ durch $- 2$ .

$x = 13$