Algebra Beispiele

$f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ als Gleichung.

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y + 2 \sqrt{y - 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y + 2 \sqrt{y - 1} = x$ um.

$y + 2 \sqrt{y - 1} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{y - 1} = x - y$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y - 1}$ als ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(y - 1)}^{1} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinfache.

$4 (y - 1) = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 4 \cdot - 1 = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 y - 4 = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - y)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$4 y - 4 = (x - y) (x - y)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y - 4 = x (x - y) - y (x - y)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 y - 4 = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Schritt 3.4.3.1.3.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.4.1

Bewege $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Schritt 3.4.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Schritt 3.4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Schritt 3.4.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 3.4.3.1.3.2.1

Bewege $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Schritt 3.4.3.1.3.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 y - 4$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y = - 4$

Schritt 3.5.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y + 4 = 0$

Schritt 3.5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 x - 4$ und $c = x^{2} + 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (- 2 x - 4) \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache.

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Schritt 3.5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5

Es sei $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Ersetze $u$ für alle $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

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Schritt 3.5.6.1.5.1

Schreibe ${(- 2 x - 4)}^{2}$ als $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ um.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5.2

Multipliziere $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.6.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.6.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.6.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.6.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5.3.2

Addiere $8 x$ und $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.5.6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.7

Ersetze alle $u$ durch $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.8

Vereinfache.

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Schritt 3.5.6.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.6.1.8.1.1

Mutltipliziere $x^{2} + 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

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Schritt 3.5.6.1.8.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.8.2.2

Addiere $4 x + 4$ und $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.8.2.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.8.2.4

Addiere $4 x$ und $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.10

Schreibe $16 x$ als ${(2^{2})}^{2} x$ um.

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Schritt 3.5.6.1.10.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 3.5.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5

Es sei $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Ersetze $u$ für alle $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

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Schritt 3.5.7.1.5.1

Schreibe ${(- 2 x - 4)}^{2}$ als $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ um.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5.2

Multipliziere $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.7.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.7.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.7.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.7.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5.3.2

Addiere $8 x$ und $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.5.7.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.7

Ersetze alle $u$ durch $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.7.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.7.1.8.1.1

Mutltipliziere $x^{2} + 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

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Schritt 3.5.7.1.8.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.8.2.2

Addiere $4 x + 4$ und $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.8.2.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.8.2.4

Addiere $4 x$ und $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.10

Schreibe $16 x$ als ${(2^{2})}^{2} x$ um.

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Schritt 3.5.7.1.10.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 3.5.7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{2 x + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 3.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x + 4 + 4 \sqrt{x}$ und $2$ .

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Schritt 3.5.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{2 (x) + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 3.5.7.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 3.5.7.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (2)$ heraus.

$y = \frac{2 (x + 2) + 4 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 3.5.7.4.4

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{x}$ heraus.

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})}{2}$

Schritt 3.5.7.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})$ heraus.

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2}$

Schritt 3.5.7.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.7.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Schritt 3.5.7.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x + 2 + 2 \sqrt{x}}{1}$

Schritt 3.5.7.4.6.4

Dividiere $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ durch $1$ .

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

Schritt 3.5.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5

Es sei $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Ersetze $u$ für alle $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

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Schritt 3.5.8.1.5.1

Schreibe ${(- 2 x - 4)}^{2}$ als $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ um.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5.2

Multipliziere $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.8.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.8.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.8.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.8.1.5.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.5.3.2

Addiere $8 x$ und $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.5.8.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.7

Ersetze alle $u$ durch $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.8

Vereinfache.

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Schritt 3.5.8.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.8.1.8.1.1

Mutltipliziere $x^{2} + 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

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Schritt 3.5.8.1.8.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.8.2.2

Addiere $4 x + 4$ und $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.8.2.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.8.2.4

Addiere $4 x$ und $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.10

Schreibe $16 x$ als ${(2^{2})}^{2} x$ um.

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Schritt 3.5.8.1.10.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.1.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 3.5.8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{2 x + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 3.5.8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x + 4 - 4 \sqrt{x}$ und $2$ .

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Schritt 3.5.8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{2 (x) + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 3.5.8.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 3.5.8.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (2)$ heraus.

$y = \frac{2 (x + 2) - 4 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 3.5.8.4.4

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \sqrt{x}$ heraus.

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})}{2}$

Schritt 3.5.8.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})$ heraus.

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2}$

Schritt 3.5.8.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.8.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Schritt 3.5.8.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.8.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x + 2 - 2 \sqrt{x}}{1}$

Schritt 3.5.8.4.6.4

Dividiere $x + 2 - 2 \sqrt{x}$ durch $1$ .

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Schritt 3.5.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ und $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[1, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ keine inverse Funktion von $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6