Algebra Beispiele

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{x}{x - 2}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Schritt 2

Um $\frac{x}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 2}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x - 2) + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Schritt 4.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2}$

Schritt 5

Um $- \frac{x}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 2}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)}$

Schritt 6.2

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + 2)$ um.

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 8.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x^{2} - x \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 - x^{2} - 2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 8.4

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- 2 x + 2 + 0 - 2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 8.5

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$\frac{- 2 x + 2 - 2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 8.6

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 8.7

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x + 2$ heraus.

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Schritt 8.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x) + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 8.7.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 8.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x) + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 9.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

Schreibe $- (2 x - 1)$ als $- 1 (2 x - 1)$ um.

$\frac{2 (- 1 (2 x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 9.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (2 x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$