Algebra Beispiele

$6 x^{2} - 11 x - 1 < - 6 x + 3$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $6 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$6 x^{2} - 11 x - 1 + 6 x < 3$

Schritt 1.2

Addiere $- 11 x$ und $6 x$ .

$6 x^{2} - 5 x - 1 < 3$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$6 x^{2} - 5 x - 1 = 3$

Schritt 3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} - 5 x - 1 - 3 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$6 x^{2} - 5 x - 4 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$6 x^{2} - 5 x - 4 = 0$

Schritt 5.1.2

Schreibe $- 5$ um als $3$ plus $- 8$

$6 x^{2} + (3 - 8) x - 4 = 0$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 = 0$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} + 3 x) - 8 x - 4 = 0$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (3 x - 4) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Schritt 7

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 8

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 8.2

Löse $3 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (3 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(- 3)}^{2} - 11 \cdot - 3 - 1 < - 6 \cdot - 3 + 3$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $86$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $21$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(0)}^{2} - 11 \cdot 0 - 1 < - 6 \cdot 0 + 3$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(4)}^{2} - 11 \cdot 4 - 1 < - 6 \cdot 4 + 3$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $51$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 21$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ Wahr

$x > \frac{4}{3}$ Falsch

$x < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ Wahr

$x > \frac{4}{3}$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{1}{2}, \frac{4}{3})$

Schritt 14