Algebra Beispiele

$3 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x - 36$

Schritt 1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x - 36$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$3 (x^{3}) + 6 x^{2} - 6 x - 36$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{3}) + 3 (2 x^{2}) - 6 x - 36$

Schritt 1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$3 (x^{3}) + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 2 x) - 36$

Schritt 1.4

Faktorisiere $3$ aus $- 36$ heraus.

$3 x^{3} + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 12$

Schritt 1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} + 3 (2 x^{2})$ heraus.

$3 (x^{3} + 2 x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 12$

Schritt 1.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{3} + 2 x^{2}) + 3 (- 2 x)$ heraus.

$3 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 12$

Schritt 1.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 12$ heraus.

$3 (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 12)$

Schritt 2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 2.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 - 12$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 + 2 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 - 12$

Schritt 2.1.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 + 2 \cdot 4 - 2 \cdot 2 - 12$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 + 8 - 2 \cdot 2 - 12$

Schritt 2.1.3.5

Addiere $8$ und $8$ .

$16 - 2 \cdot 2 - 12$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$16 - 4 - 12$

Schritt 2.1.3.7

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$12 - 12$

Schritt 2.1.3.8

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 12}{x - 2}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 12$ durch $x - 2$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$12$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} - 8 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$6 x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x - 12$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 4 x + 6$

Schritt 2.1.6

Schreibe $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 12$ als eine Menge von Faktoren.

$3 ((x - 2) (x^{2} + 4 x + 6))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 2) (x^{2} + 4 x + 6)$