Algebra Beispiele

$x^{2} - 10 x - 81 - y^{2} - 18 y + 25$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{2} - 10 x + 25 - 81 - y^{2} - 18 y$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x^{2} - 10 x + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

${(x - 5)}^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 y - 81$

Schritt 3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ und deren Summe gleich $b = - 18$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 18$ aus $- 18 y$ heraus.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 (y) - 81$

Schritt 3.2.2

Schreibe $- 18$ um als $- 9$ plus $- 9$

${(x - 5)}^{2} - y^{2} + (- 9 - 9) y - 81$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 9 y - 9 y - 81$

Schritt 3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

${(x - 5)}^{2} + (- y^{2} - 9 y) - 9 y - 81$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

${(x - 5)}^{2} + y (- y - 9) + 9 (- y - 9)$

Schritt 3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- y - 9$ .

${(x - 5)}^{2} + (- y - 9) (y + 9)$

Schritt 4

Schreibe $(y + 9) (y + 9)$ als ${(y + 9)}^{2}$ um.

${(x - 5)}^{2} - {(y + 9)}^{2}$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x - 5$ und $b = y + 9$ .

$(x - 5 + y + 9) (x - 5 - (y + 9))$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Addiere $- 5$ und $9$ .

$(x + y + 4) (x - 5 - (y + 9))$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 1 \cdot 9)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 9)$

Schritt 6.4

Subtrahiere $9$ von $- 5$ .

$(x + y + 4) (x - y - 14)$