Algebra Beispiele

$\cos (2 u) = \cos^{2} (u) - \sin^{2} (u)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\cos^{2} (u)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) = - \sin^{2} (u)$

Schritt 1.2

Addiere $\sin^{2} (u)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 2

Ersetze $\sin^{2} (u)$ durch $1 - \cos^{2} (u)$ .

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

Schritt 3

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = - 1$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.2

Ersetze die $- 2 \sin^{2} (u)$ durch $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.4

Addiere $- 2$ und $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Schritt 6.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

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Schritt 6.5.1.1

Bewege $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.5.1.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.6

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.7

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Schritt 6.8

Löse die Gleichung nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.2

Ersetze die $- 2 \sin^{2} (u)$ durch $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.4

Addiere $- 2$ und $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Schritt 6.8.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.5.1

Vereinfache $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

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Schritt 6.8.5.1.1

Bewege $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.5.1.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.6

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.7

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Schritt 6.8.8

Löse die Gleichung nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.8.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.8.2

Ersetze die $- 2 \sin^{2} (u)$ durch $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.8.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.8.4

Addiere $- 2$ und $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Schritt 6.8.8.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.8.5.1

Vereinfache $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

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Schritt 6.8.8.5.1.1

Bewege $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.5.1.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.6

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.7

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Schritt 6.8.8.8

Löse die Gleichung nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.8.8.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.8.8.2

Ersetze die $- 2 \sin^{2} (u)$ durch $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.8.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.8.8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.8.8.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.8.8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Schritt 6.8.8.8.4

Addiere $- 2$ und $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Schritt 6.8.8.8.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.8.8.5.1

Vereinfache $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

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Schritt 6.8.8.8.5.1.1

Bewege $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.5.1.2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.6

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.8.8.7.1

Vereinfache $\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ .

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Schritt 6.8.8.8.7.1.1

Bewege $- \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\cos^{2} (u) \cdot 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 6.8.8.8.7.1.3.1

Faktorisiere $\cos^{2} (u)$ aus $- \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ heraus.

$\cos^{2} (u) \cdot 1 + \cos^{2} (u) (- 1 \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.3.2

Faktorisiere $\cos^{2} (u)$ aus $\cos^{2} (u) \cdot 1 + \cos^{2} (u) (- 1 \sin^{2} (u))$ heraus.

$\cos^{2} (u) \cdot (1 - 1 \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.3.3

Schreibe $- 1 \sin^{2} (u)$ als $- \sin^{2} (u)$ um.

$\cos^{2} (u) \cdot (1 - \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos^{2} (u) \cdot \cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.5

Schreibe $\cos^{2} (u) \cdot \cos^{2} (u)$ als ${(\cos (u) \cos (u))}^{2}$ um.

${(\cos (u) \cos (u))}^{2} - \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (u) \cos (u)$ und $b = \sin (u)$ .

$(\cos (u) \cos (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.7

Multipliziere $\cos (u) \cos (u)$ .

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Schritt 6.8.8.8.7.1.7.1

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$(\cos^{1} (u) \cos (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.7.2

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$(\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$({\cos (u)}^{1 + 1} + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.8

Multipliziere $\cos (u) \cos (u)$ .

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Schritt 6.8.8.8.7.1.8.1

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{1} (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.8.2

Potenziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) ({\cos (u)}^{1 + 1} - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.9

Multipliziere $(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.8.8.8.7.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos^{2} (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) + \sin (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.8.8.8.7.1.10.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u))$ .

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Schritt 6.8.8.8.7.1.10.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos^{2} (u) (- \sin (u))$ und $\sin (u) \cos^{2} (u)$ neu an.

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin (u) + \cos^{2} (u) \sin (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.10.1.2

Addiere $- \cos^{2} (u) \sin (u)$ und $\cos^{2} (u) \sin (u)$ .

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + 0 + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.10.1.3

Addiere $\cos^{2} (u) \cos^{2} (u)$ und $0$ .

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.8.8.7.1.10.2.1

Multipliziere $\cos^{2} (u)$ mit $\cos^{2} (u)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.8.8.8.7.1.10.2.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (u)}^{2 + 2} + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.10.2.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\cos^{4} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.10.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{4} (u) - \sin (u) \sin (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.10.2.3

Multipliziere $- \sin (u) \sin (u)$ .

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Schritt 6.8.8.8.7.1.10.2.3.1

Potenziere $\sin (u)$ mit $1$ .

$\cos^{4} (u) - (\sin^{1} (u) \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.10.2.3.2

Potenziere $\sin (u)$ mit $1$ .

$\cos^{4} (u) - (\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.10.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{4} (u) - {\sin (u)}^{1 + 1} = 0$

Schritt 6.8.8.8.7.1.10.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.8

Löse die Gleichung nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.8.8.8.1

Ersetze $\sin^{2} (u)$ durch $1 - \cos^{2} (u)$ .

$\cos^{4} (u) - (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.8.2

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.8.2.2

Faktorisiere $\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u)$ .

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Schritt 6.8.8.8.8.2.2.1

Schreibe $\cos^{4} (u)$ als ${(\cos^{2} (u))}^{2}$ um.

${(\cos^{2} (u))}^{2} - \sin^{2} (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.8.2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos^{2} (u)$ und $b = \sin (u)$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Schritt 6.8.8.8.8.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$

$\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4

Setze $\cos^{2} (u) + \sin (u)$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.4.1

Setze $\cos^{2} (u) + \sin (u)$ gleich $0$ .

$\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2

Löse $\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.1

Ersetze $\cos^{2} (u)$ durch $1 - \sin^{2} (u)$ .

$(1 - \sin^{2} (u)) + \sin (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.1

Ersetze $\sin (u)$ durch $u$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.6

Ersetze $u$ durch $\sin (u)$ .

$\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $u$ aufzulösen.

$\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (u) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.8

Löse in $\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.8.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9

Löse in $\sin (u) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $u$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$u = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$u = - 0.66623943$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$u = (3.14159265) + 0.66623943$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.1

Entferne die Klammern.

$u = 3.14159265 + 0.66623943$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.2

Entferne die Klammern.

$u = (3.14159265) + 0.66623943$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.66623943$ .

$u = 3.80783208$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5

Ermittele die Periode von $\sin (u)$ .

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Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.66623943$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.66623943 + 2 π$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.2

Subtrahiere $0.66623943$ von $2 π$ .

$5.61694587$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$u = 5.61694587$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.7

Die Periode der Funktion $\sin (u)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6.8.8.8.8.2.4.2.2.10

Liste alle Lösungen auf.

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5

Setze $\cos^{2} (u) - \sin (u)$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.5.1

Setze $\cos^{2} (u) - \sin (u)$ gleich $0$ .

$\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2

Löse $\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.1

Ersetze $\cos^{2} (u)$ durch $1 - \sin^{2} (u)$ .

$(1 - \sin^{2} (u)) - \sin (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.1

Ersetze $\sin (u)$ durch $u$ .

$1 - {(u)}^{2} - (u) = 0$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.6

Ersetze $u$ durch $\sin (u)$ .

$\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $u$ aufzulösen.

$\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (u) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.8

Löse in $\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.8.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9

Löse in $\sin (u) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $u$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$u = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$u = 0.66623943$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$u = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$u = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4.2

Der resultierende Winkel von $2.47535322$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$u = 2.47535322$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5

Ermittele die Periode von $\sin (u)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.6

Die Periode der Funktion $\sin (u)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$u = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6.8.8.8.8.2.5.2.2.10

Liste alle Lösungen auf.

$u = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6.8.8.8.8.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$ wahr machen.

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n, 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 7.1

Führe $3.80783208 + 2 π n$ und $0.66623943 + 2 π n$ zu $0.66623943 + π n$ zusammen.

$u = 0.66623943 + π n, 5.61694587 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7.2

Führe $5.61694587 + 2 π n$ und $2.47535322 + 2 π n$ zu $2.47535322 + π n$ zusammen.

$u = 0.66623943 + π n, 2.47535322 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$