Algebra Beispiele

$f (x) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$ als Gleichung.

$y = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 4 \sqrt[5]{\frac{y^{7}}{7}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 \sqrt[5]{\frac{y^{7}}{7}} = x$ um.

$4 \sqrt[5]{\frac{y^{7}}{7}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $5$ . Potenz.

${(4 \sqrt[5]{\frac{y^{7}}{7}})}^{5} = x^{5}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{\frac{y^{7}}{7}}$ als ${(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

${(4 {(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(4 {(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y^{7}}{7}$ an.

${(4 \frac{{(y^{7})}^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}})}^{5} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{7})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 \frac{y^{7 (\frac{1}{5})}}{7^{\frac{1}{5}}})}^{5} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{5}$ .

${(4 \frac{y^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}})}^{5} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{y^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}$ .

${(\frac{4 y^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}})}^{5} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4 y^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}$ an.

$\frac{{(4 y^{\frac{7}{5}})}^{5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $4 y^{\frac{7}{5}}$ an.

$\frac{4^{5} {(y^{\frac{7}{5}})}^{5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Potenziere $4$ mit $5$ .

$\frac{1024 {(y^{\frac{7}{5}})}^{5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{7}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1024 y^{\frac{7}{5} \cdot 5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1024 y^{\frac{7}{5} \cdot 5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1024 y^{7}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.2.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(7^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1024 y^{7}}{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1024 y^{7}}{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1024 y^{7}}{7^{1}} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.5.2

Berechne den Exponenten.

$\frac{1024 y^{7}}{7} = x^{5}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{7}{1024}$ .

$\frac{7}{1024} \cdot \frac{1024 y^{7}}{7} = \frac{7}{1024} x^{5}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache $\frac{7}{1024} \cdot \frac{1024 y^{7}}{7}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Kombinieren.

$\frac{7 (1024 y^{7})}{1024 \cdot 7} = \frac{7}{1024} x^{5}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 (1024 y^{7})}{1024 \cdot 7} = \frac{7}{1024} x^{5}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1024 y^{7}}{1024} = \frac{7}{1024} x^{5}$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1024$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1024 y^{7}}{1024} = \frac{7}{1024} x^{5}$

Schritt 3.4.2.1.1.3.2

Dividiere $y^{7}$ durch $1$ .

$y^{7} = \frac{7}{1024} x^{5}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kombiniere $\frac{7}{1024}$ und $x^{5}$ .

$y^{7} = \frac{7 x^{5}}{1024}$

Schritt 3.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[7]{\frac{7 x^{5}}{1024}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\sqrt[7]{\frac{7 x^{5}}{1024}}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $\frac{7 x^{5}}{1024}$ als ${(\frac{1}{2})}^{7} \frac{7 x^{5}}{8}$ um.

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Schritt 3.4.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{7}$ aus $7 x^{5}$ heraus.

$y = \sqrt[7]{\frac{1^{7} (7 x^{5})}{1024}}$

Schritt 3.4.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{7}$ aus $1024$ heraus.

$y = \sqrt[7]{\frac{1^{7} (7 x^{5})}{2^{7} \cdot 8}}$

Schritt 3.4.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{7} (7 x^{5})}{2^{7} \cdot 8}$ um.

$y = \sqrt[7]{{(\frac{1}{2})}^{7} \frac{7 x^{5}}{8}}$

Schritt 3.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[7]{\frac{7 x^{5}}{8}}$

Schritt 3.4.4.3

Schreibe $\sqrt[7]{\frac{7 x^{5}}{8}}$ als $\frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{\sqrt[7]{8}}$ um.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{\sqrt[7]{8}}$

Schritt 3.4.4.4

Kombinieren.

$y = \frac{1 \sqrt[7]{7 x^{5}}}{2 \sqrt[7]{8}}$

Schritt 3.4.4.5

Mutltipliziere $\sqrt[7]{7 x^{5}}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{2 \sqrt[7]{8}}$

Schritt 3.4.4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{2 \sqrt[7]{8}}$ mit $\frac{{\sqrt[7]{8}}^{6}}{{\sqrt[7]{8}}^{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{2 \sqrt[7]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{8}}^{6}}{{\sqrt[7]{8}}^{6}}$

Schritt 3.4.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{2 \sqrt[7]{8}}$ mit $\frac{{\sqrt[7]{8}}^{6}}{{\sqrt[7]{8}}^{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \sqrt[7]{8} {\sqrt[7]{8}}^{6}}$

Schritt 3.4.4.7.2

Bewege $\sqrt[7]{8}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 (\sqrt[7]{8} {\sqrt[7]{8}}^{6})}$

Schritt 3.4.4.7.3

Potenziere $\sqrt[7]{8}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 ({\sqrt[7]{8}}^{1} {\sqrt[7]{8}}^{6})}$

Schritt 3.4.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 {\sqrt[7]{8}}^{1 + 6}}$

Schritt 3.4.4.7.5

Addiere $1$ und $6$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 {\sqrt[7]{8}}^{7}}$

Schritt 3.4.4.7.6

Schreibe ${\sqrt[7]{8}}^{7}$ als $8$ um.

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Schritt 3.4.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{8}$ als $8^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 {(8^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

Schritt 3.4.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \cdot 8^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

Schritt 3.4.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \cdot 8^{\frac{7}{7}}}$

Schritt 3.4.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.4.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \cdot 8^{\frac{7}{7}}}$

Schritt 3.4.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \cdot 8^{1}}$

Schritt 3.4.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.4.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.8.1

Schreibe ${\sqrt[7]{8}}^{6}$ als $\sqrt[7]{8^{6}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} \sqrt[7]{8^{6}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.4.4.8.2

Potenziere $8$ mit $6$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} \sqrt[7]{262144}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.4.4.8.3

Schreibe $262144$ als $4^{7} \cdot 16$ um.

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Schritt 3.4.4.8.3.1

Faktorisiere $16384$ aus $262144$ heraus.

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} \sqrt[7]{16384 (16)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.4.4.8.3.2

Schreibe $16384$ als $4^{7}$ um.

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} \sqrt[7]{4^{7} \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.4.4.8.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} \cdot 4 \sqrt[7]{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.4.4.8.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.4.8.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{4 \sqrt[7]{7 x^{5} \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.4.4.8.5.2

Mutltipliziere $16$ mit $7$ .

$y = \frac{4 \sqrt[7]{112 x^{5}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.4.4.9

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[7]{112 x^{5}}}{16}$

Schritt 3.4.4.9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 3.4.4.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt[7]{112 x^{5}}$ heraus.

$y = \frac{4 (\sqrt[7]{112 x^{5}})}{16}$

Schritt 3.4.4.9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.9.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{4 \sqrt[7]{112 x^{5}}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.4.4.9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 \sqrt[7]{112 x^{5}}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.4.4.9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 {(4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}})}^{5}}}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$ an.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (4^{5} {\sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.2

Potenziere $4$ mit $5$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {\sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$ als $\frac{\sqrt[5]{x^{7}}}{\sqrt[5]{7}}$ um.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{\sqrt[5]{x^{7}}}{\sqrt[5]{7}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{\sqrt[5]{x^{5} x^{2}}}{\sqrt[5]{7}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{7}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{x \sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{7}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{7}}^{4}}{{\sqrt[5]{7}}^{4}}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{7}}^{4}}{{\sqrt[5]{7}}^{4}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{x \sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{7}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{7}}^{4}}{{\sqrt[5]{7}}^{4}}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{7}}^{4}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.6.2

Potenziere $\sqrt[5]{7}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{7}}^{4}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{{\sqrt[5]{7}}^{1 + 4}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.6.4

Addiere $1$ und $4$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{{\sqrt[5]{7}}^{5}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.6.5

Schreibe ${\sqrt[5]{7}}^{5}$ als $7$ um.

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Schritt 5.2.3.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{7}$ als $7^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{7^{\frac{5}{5}}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{7^{\frac{5}{5}}})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{7})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.6.5.5

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{7})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.7.1

Schreibe ${\sqrt[5]{7}}^{4}$ als $\sqrt[5]{7^{4}}$ um.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} \sqrt[5]{7^{4}}}{7})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.7.2

Potenziere $7$ mit $4$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} \sqrt[5]{2401}}{7})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.7.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{2401 x^{2}}}{7})}^{5})}}{4}$

Schritt 5.2.3.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.3.8.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x \sqrt[5]{2401 x^{2}}}{7}$ an.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{{(x \sqrt[5]{2401 x^{2}})}^{5}}{7^{5}}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.8.2

Wende die Produktregel auf $x \sqrt[5]{2401 x^{2}}$ an.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} {\sqrt[5]{2401 x^{2}}}^{5}}{7^{5}}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.9.1

Schreibe ${\sqrt[5]{2401 x^{2}}}^{5}$ als $2401 x^{2}$ um.

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Schritt 5.2.3.9.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{2401 x^{2}}$ als ${(2401 x^{2})}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} {({(2401 x^{2})}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{7^{5}}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} {(2401 x^{2})}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{7^{5}}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.9.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} {(2401 x^{2})}^{\frac{5}{5}}}{7^{5}}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.9.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} {(2401 x^{2})}^{\frac{5}{5}}}{7^{5}}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.9.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} (2401 x^{2})}{7^{5}}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.9.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} (2401 x^{2})}{7^{5}}))}}{4}$

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} \cdot (2401 x^{2})}{7^{5}}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.9.2

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.9.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{2} x^{5} \cdot 2401}{7^{5}}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{2 + 5} \cdot 2401}{7^{5}}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.9.2.3

Addiere $2$ und $5$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{7} \cdot 2401}{7^{5}}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.10

Potenziere $7$ mit $5$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{7} \cdot 2401}{16807}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2401$ und $16807$ .

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Schritt 5.2.3.11.1

Faktorisiere $2401$ aus $x^{7} \cdot 2401$ heraus.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{2401 \cdot x^{7}}{16807}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.11.2.1

Faktorisiere $2401$ aus $16807$ heraus.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{2401 \cdot x^{7}}{2401 \cdot 7}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{2401 \cdot x^{7}}{2401 \cdot 7}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{7}}{7}))}}{4}$

Schritt 5.2.3.12

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.3.12.1

Mutltipliziere $112$ mit $1024$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{114688 (\frac{x^{7}}{7})}}{4}$

Schritt 5.2.3.12.2

Kombiniere $114688$ und $\frac{x^{7}}{7}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{\frac{114688 x^{7}}{7}}}{4}$

Schritt 5.2.3.13

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.13.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{114688 x^{7}}{7}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.13.1.1

Faktorisiere $7$ aus $114688 x^{7}$ heraus.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{\frac{7 (16384 x^{7})}{7}}}{4}$

Schritt 5.2.3.13.1.2

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{\frac{7 (16384 x^{7})}{7 (1)}}}{4}$

Schritt 5.2.3.13.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{\frac{7 (16384 x^{7})}{7 \cdot 1}}}{4}$

Schritt 5.2.3.13.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{\frac{16384 x^{7}}{1}}}{4}$

Schritt 5.2.3.13.2

Dividiere $16384 x^{7}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{16384 x^{7}}}{4}$

Schritt 5.2.3.14

Schreibe $16384 x^{7}$ als ${(4 x)}^{7}$ um.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{{(4 x)}^{7}}}{4}$

Schritt 5.2.3.15

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{(\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4})}^{7}}{7}}$

Schritt 5.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$ an.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{\frac{{\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}}{4^{7}}}{7}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}}{4^{7}} \cdot \frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.5

Kombinieren.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7} \cdot 1}{4^{7} \cdot 7}}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.6.1

Mutltipliziere ${\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}}{4^{7} \cdot 7}}$

Schritt 5.3.6.2

Potenziere $4$ mit $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}}{16384 \cdot 7}}$

Schritt 5.3.7

Schreibe ${\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}$ als $112 x^{5}$ um.

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Schritt 5.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{112 x^{5}}$ als ${(112 x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{({(112 x^{5})}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{16384 \cdot 7}}$

Schritt 5.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{(112 x^{5})}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{16384 \cdot 7}}$

Schritt 5.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{(112 x^{5})}^{\frac{7}{7}}}{16384 \cdot 7}}$

Schritt 5.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{(112 x^{5})}^{\frac{7}{7}}}{16384 \cdot 7}}$

Schritt 5.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 x^{5}}{16384 \cdot 7}}$

Schritt 5.3.7.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 x^{5}}{16384 \cdot 7}}$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $16384$ mit $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 x^{5}}{114688}}$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $112$ und $114688$ .

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Schritt 5.3.9.1

Faktorisiere $112$ aus $112 x^{5}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 (x^{5})}{114688}}$

Schritt 5.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.9.2.1

Faktorisiere $112$ aus $114688$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 x^{5}}{112 \cdot 1024}}$

Schritt 5.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 x^{5}}{112 \cdot 1024}}$

Schritt 5.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1024}}$

Schritt 5.3.10

Schreibe $1024$ als $4^{5}$ um.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{4^{5}}}$

Schritt 5.3.11

Schreibe $\frac{x^{5}}{4^{5}}$ als ${(\frac{x}{4})}^{5}$ um.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{{(\frac{x}{4})}^{5}}$

Schritt 5.3.12

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 5.3.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 5.3.13.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$