Algebra Beispiele

$f (x) = - \sqrt{x + 2}$ ; for $x \geq - 2$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$(- \infty, 0]$

Schritt 1.2

Wandle $(- \infty, 0]$ in eine Ungleichung um.

$y \leq 0$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = - \sqrt{y + 2}$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{y + 2} = x$ um.

$- \sqrt{y + 2} = x$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{y + 2} = x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{y + 2} = x$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 2}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sqrt{y + 2}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $\sqrt{y + 2}$ durch $1$ .

$\sqrt{y + 2} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 2} = - 1 \cdot x$

Schritt 2.2.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\sqrt{y + 2} = - x$

Schritt 2.2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 2}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 2}$ als ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.2.1

Vereinfache ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 2)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.4.2.1.2

Vereinfache.

$y + 2 = {(- x)}^{2}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.3.1

Vereinfache ${(- x)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y + 2 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Schritt 2.2.4.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y + 2 = 1 x^{2}$

Schritt 2.2.4.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y + 2 = x^{2}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 2$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2, x \leq 0$

Schritt 4