Algebra Beispiele

$f (x) = 5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}$ als Gleichung.

$y = 5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 5 {(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 {(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}} = x$ um.

$5 {(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $5 {(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}} = x$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 {(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}} = x$ durch $5$ .

$\frac{5 {(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 {(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}}{5} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.2.1

Dividiere ${(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}$ durch $1$ .

${(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y^{7}}{7}$ an.

$\frac{{(y^{7})}^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{7})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 3.2.2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{7 (\frac{1}{5})}}{7^{\frac{1}{5}}} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.2.2.2.3.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{y^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}} = \frac{x}{5}$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7^{\frac{1}{5}}$ .

$7^{\frac{1}{5}} \frac{y^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}} = 7^{\frac{1}{5}} \frac{x}{5}$

Schritt 3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7^{\frac{1}{5}} \frac{y^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}} = 7^{\frac{1}{5}} \frac{x}{5}$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{7}{5}} = 7^{\frac{1}{5}} \frac{x}{5}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $7^{\frac{1}{5}} \frac{x}{5}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kombiniere $7^{\frac{1}{5}}$ und $\frac{x}{5}$ .

$y^{\frac{7}{5}} = \frac{7^{\frac{1}{5}} x}{5}$

Schritt 3.4.2.1.2

Stelle die Faktoren in $\frac{7^{\frac{1}{5}} x}{5}$ um.

$y^{\frac{7}{5}} = \frac{x \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5}$

Schritt 3.5

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{7}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{7}{5}})}^{\frac{5}{7}} = {(\frac{x \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5})}^{\frac{5}{7}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{7}{5}})}^{\frac{5}{7}}$ .

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Schritt 3.6.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{7}{5}})}^{\frac{5}{7}}$ .

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Schritt 3.6.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7}} = {(\frac{x \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5})}^{\frac{5}{7}}$

Schritt 3.6.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.6.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7}} = {(\frac{x \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5})}^{\frac{5}{7}}$

Schritt 3.6.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5})}^{\frac{5}{7}}$

Schritt 3.6.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5})}^{\frac{5}{7}}$

Schritt 3.6.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\frac{x \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5})}^{\frac{5}{7}}$

Schritt 3.6.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(\frac{x \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5})}^{\frac{5}{7}}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache ${(\frac{x \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5})}^{\frac{5}{7}}$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{5}$ an.

$y = \frac{{(x \cdot 7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 3.6.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $x \cdot 7^{\frac{1}{5}}$ an.

$y = \frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot {(7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 3.6.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}$ .

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Schritt 3.6.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 3.6.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 3.6.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{{(5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{7}}{7}$ an.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{{(5 (\frac{{(x^{7})}^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}))}^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{{(5 (\frac{x^{7 (\frac{1}{5})}}{7^{\frac{1}{5}}}))}^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{5}$ .

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{{(5 (\frac{x^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}))}^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $5$ und $\frac{x^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}$ .

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{{(\frac{5 x^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}})}^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 x^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}$ an.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{{(5 x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{5}{7}}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.4.2

Wende die Produktregel auf $5 x^{\frac{7}{5}}$ an.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{5}{7}}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{5}{7}}$ .

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Schritt 5.2.3.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7}}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7}}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.5.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.5.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(7^{\frac{1}{5}})}^{\frac{5}{7}}$ .

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Schritt 5.2.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x}{7^{\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{7}}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x}{7^{\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{7}}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x}{7^{\frac{1}{7}}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $\frac{5^{\frac{5}{7}} x}{7^{\frac{1}{7}}}$ und $7^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{7^{\frac{1}{7}}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{5^{\frac{5}{7}} x \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{7^{\frac{1}{7}}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{7^{\frac{1}{7}}}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{\frac{5^{\frac{5}{7}} x}{1}}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $5^{\frac{5}{7}} x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{5^{\frac{5}{7}} x}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = \frac{5^{\frac{5}{7}} x}{5^{\frac{5}{7}}}$

Schritt 5.2.7

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{{(\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}})}^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$ an.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{{(x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{(5^{\frac{5}{7}})}^{7}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Wende die Produktregel auf $x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}$ an.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{{(x^{\frac{5}{7}})}^{7} \cdot {(7^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{(5^{\frac{5}{7}})}^{7}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{x^{\frac{5}{7} \cdot 7} \cdot {(7^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{(5^{\frac{5}{7}})}^{7}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{x^{\frac{5}{7} \cdot 7} \cdot {(7^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{(5^{\frac{5}{7}})}^{7}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{x^{5} \cdot {(7^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{(5^{\frac{5}{7}})}^{7}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(7^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 5.3.3.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{x^{5} \cdot 7^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{(5^{\frac{5}{7}})}^{7}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{x^{5} \cdot 7^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{(5^{\frac{5}{7}})}^{7}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{x^{5} \cdot 7}{{(5^{\frac{5}{7}})}^{7}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2.4

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{x^{5} \cdot 7}{{(5^{\frac{5}{7}})}^{7}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{5}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{x^{5} \cdot 7}{5^{\frac{5}{7} \cdot 7}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{x^{5} \cdot 7}{5^{\frac{5}{7} \cdot 7}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{x^{5} \cdot 7}{5^{5}}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.3.2

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{x^{5} \cdot 7}{3125}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.4

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{\frac{7 x^{5}}{3125}}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{7 x^{5}}{3125} \cdot \frac{1}{7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.5.1

Kombinieren.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{7 x^{5} \cdot 1}{3125 \cdot 7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{7 x^{5} \cdot 1}{3125 \cdot 7})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{x^{5} \cdot 1}{3125})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.5.3.1

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 {(\frac{x^{5}}{3125})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.5.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{5}}{3125}$ an.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 (\frac{{(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{3125^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 5.3.6.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 (\frac{x^{5 (\frac{1}{5})}}{3125^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 5.3.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 (\frac{x^{5 (\frac{1}{5})}}{3125^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 5.3.6.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 (\frac{x}{3125^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 5.3.6.2

Vereinfache.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 (\frac{x}{3125^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.7.1

Schreibe $3125$ als $5^{5}$ um.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 (\frac{x}{{(5^{5})}^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 5.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 (\frac{x}{5^{5 (\frac{1}{5})}})$

Schritt 5.3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 (\frac{x}{5^{5 (\frac{1}{5})}})$

Schritt 5.3.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.7.4

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = 5 (\frac{x}{5})$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 {(\frac{x^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{5}{7}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{5}{7}}}$