Algebra Beispiele

$\log_{2} (8 x - x^{2}) = 4$

Schritt 1

Schreibe $\log_{2} (8 x - x^{2}) = 4$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{4} = 8 x - x^{2}$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $8 x - x^{2} = 2^{4}$ um.

$8 x - x^{2} = 2^{4}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$8 x - x^{2} = 16$

Schritt 2.3

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x - x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $8 x - x^{2} - 16$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Stelle $8 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 8 x - 16 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 8 x - 16 = 0$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $8 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 16 = 0$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot 16 = 0$

Schritt 2.4.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 8 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 8 x) - 1 \cdot 16 = 0$

Schritt 2.4.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 8 x) - 1 (16)$ heraus.

$- (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.4.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 2.4.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.4.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$- {(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 4)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 4)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Dividiere ${(x - 4)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.7

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$