Algebra Beispiele

${(3^{x})}^{x + 2} = \frac{1}{3}$

Schritt 1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{x (x + 2)} = \frac{1}{3}$

Schritt 2

Potenziere $3$ mit $1$ .

$3^{x (x + 2)} = \frac{1}{3^{1}}$

Schritt 3

Bringe $3^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{x (x + 2)} = 3^{- 1}$

Schritt 4

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x (x + 2) = - 1$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $x (x + 2)$ .

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 2 = - 1$

Schritt 5.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 = - 1$

Schritt 5.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 2 x = - 1$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} + 2 x + 1^{2} = 0$

Schritt 5.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 5.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 5.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$