Algebra Beispiele

$- 18 \sqrt{2 x - 1} > - 36$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(- 18 \sqrt{2 x - 1})}^{2} > {(- 36)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 1}$ als ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 18 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- 36)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(- 18 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 18 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 18)}^{2} {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- 36)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$324 {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- 36)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$324 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- 36)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$324 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- 36)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$324 {(2 x - 1)}^{1} > {(- 36)}^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

$324 (2 x - 1) > {(- 36)}^{2}$

Schritt 2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$324 (2 x) + 324 \cdot - 1 > {(- 36)}^{2}$

Schritt 2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $324$ .

$648 x + 324 \cdot - 1 > {(- 36)}^{2}$

Schritt 2.2.1.6.2

Mutltipliziere $324$ mit $- 1$ .

$648 x - 324 > {(- 36)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$648 x - 324 > 1296$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $324$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$648 x > 1296 + 324$

Schritt 3.1.2

Addiere $1296$ und $324$ .

$648 x > 1620$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $648 x > 1620$ durch $648$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $648 x > 1620$ durch $648$ .

$\frac{648 x}{648} > \frac{1620}{648}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $648$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{648 x}{648} > \frac{1620}{648}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{1620}{648}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1620$ und $648$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $324$ aus $1620$ heraus.

$x > \frac{324 (5)}{648}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $324$ aus $648$ heraus.

$x > \frac{324 \cdot 5}{324 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x > \frac{324 \cdot 5}{324 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x > \frac{5}{2}$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $- 18 \sqrt{2 x - 1} + 36$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 \geq 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 18 \sqrt{2 (0) - 1} > - 36$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 18 \sqrt{2 (2) - 1} > - 36$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $- 31.17691453$ ist größer als die rechte Seite $- 36$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 18 \sqrt{2 (5) - 1} > - 36$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $- 54$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 36$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$x > \frac{5}{2}$ Falsch

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$x > \frac{5}{2}$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$

Schritt 9