Algebra Beispiele

$f (x) = - {(\frac{1}{3})}^{x - 1} + 2$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - {(\frac{1}{3})}^{x - 1} + 2$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- {(\frac{1}{3})}^{x - 1} + 2 = 0$ um.

$- {(\frac{1}{3})}^{x - 1} + 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$- \frac{1^{x - 1}}{3^{x - 1}} + 2 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{3^{x - 1}} + 2 = 0$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{3^{x - 1}} = - 2$

Schritt 1.2.4

Multipliziere beide Seiten mit $3^{x - 1}$ .

$- \frac{1}{3^{x - 1}} \cdot 3^{x - 1} = - 2 \cdot 3^{x - 1}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3^{x - 1}$ .

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Schritt 1.2.5.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3^{x - 1}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{3^{x - 1}} \cdot 3^{x - 1} = - 2 \cdot 3^{x - 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3^{x - 1}} \cdot 3^{x - 1} = - 2 \cdot 3^{x - 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - 2 \cdot 3^{x - 1}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 \cdot 3^{x - 1} = - 1$ um.

$- 2 \cdot 3^{x - 1} = - 1$

Schritt 1.2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cdot 3^{x - 1} = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cdot 3^{x - 1} = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cdot 3^{x - 1}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cdot 3^{x - 1}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2

Dividiere $3^{x - 1}$ durch $1$ .

$3^{x - 1} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 1.2.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$3^{x - 1} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x - 1}) = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 1.2.6.4

Zerlege $\ln (3^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(x - 1) \ln (3) = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 1.2.6.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.5.1

Vereinfache $(x - 1) \ln (3)$ .

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Schritt 1.2.6.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (3) - 1 \ln (3) = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 1.2.6.5.1.2

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$x \ln (3) - \ln (3) = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 1.2.6.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (3) - \ln (3) - \ln (\frac{1}{2}) = 0$

Schritt 1.2.6.7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.7.1

Addiere $\ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) - \ln (\frac{1}{2}) = \ln (3)$

Schritt 1.2.6.7.2

Addiere $\ln (\frac{1}{2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) = \ln (3) + \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 1.2.6.8

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (3) + \ln (\frac{1}{2})$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (3) + \ln (\frac{1}{2})$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}$

Schritt 1.2.6.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 1.2.6.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}$

Schritt 1.2.6.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}$

Schritt 1.2.6.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 1.2.6.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}$

Schritt 1.2.6.8.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1 + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - {(\frac{1}{3})}^{(0) - 1} + 2$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - {(\frac{1}{3})}^{0 - 1} + 2$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - {(\frac{1}{3})}^{(0) - 1} + 2$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- {(\frac{1}{3})}^{(0) - 1} + 2$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = - {(\frac{1}{3})}^{- 1} + 2$

Schritt 2.2.3.1.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$y = - 1 \cdot 3 + 2$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 3 + 2$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $- 3$ und $2$ .

$y = - 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(1 + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 4