Algebra Beispiele

$\frac{4}{x} - \frac{x}{8} = 0$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 8, 1$

Schritt 1.2

Da $x, 8, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 8, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{1}$ .

Schritt 1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.5

Die Primfaktoren von $8$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 1.5.1

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 4$

Schritt 1.5.2

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 1.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.7

Das kgV von $1, 8, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 1.8

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8$

Schritt 1.9

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 1.10

Das kgV von $x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x$

Schritt 1.11

Das kgV von $x, 8, 1$ ist der numerische Teil $8$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$8 x$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{x} - \frac{x}{8} = 0$ mit $8 x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{x} - \frac{x}{8} = 0$ mit $8 x$ .

$\frac{4}{x} (8 x) - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \frac{4}{x} x - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $8 \frac{4}{x}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{4}{x}$ .

$\frac{8 \cdot 4}{x} x - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{32}{x} x - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32}{x} x - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$32 - \frac{x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{8}$ in den Zähler.

$32 + \frac{- x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.4.2

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$32 + \frac{- x}{8} (8 (x)) = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$32 + \frac{- x}{8} (8 x) = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$32 - x \cdot x = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$32 - (x^{1} x) = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$32 - (x^{1} x^{1}) = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$32 - x^{1 + 1} = 0 (8 x)$

Schritt 2.2.1.8

Addiere $1$ und $1$ .

$32 - x^{2} = 0 (8 x)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $0 (8 x)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$32 - x^{2} = 0 x$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$32 - x^{2} = 0$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $32$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 32$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 32$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 32$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 32}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 32}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 32}{- 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $- 32$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 32$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{32}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{32}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \pm \sqrt{16 (2)}$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 4 \sqrt{2}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 \sqrt{2}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 \sqrt{2}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 5.65685424 \dots, - 5.65685424 \dots$