Algebra Beispiele

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) \div (x + 2)$

Schritt 1

Um den Rest zu berechnen, teile zunächst die Polynome.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x^{2} + x + 1) - 1 (x^{2} + x + 1)}{x + 2}$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x^{2} + x) + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{x + 2}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{x + 2}$

Schritt 1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.6

Stelle $x$ und $1$ um.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.9

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} + x^{1 + 1} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.13

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.14

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.16

Bewege $x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} + x - 1 x - 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.17

Subtrahiere $1 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - 1 x - 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.18

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x - 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.19

Subtrahiere $1 x$ von $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 1}{x + 2}$

Schritt 1.1.20

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x + 2}$

$\frac{x^{3} - 1}{x + 2}$

Schritt 1.2

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

-

$1$

Schritt 1.3

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Schritt 1.4

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 1.5

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2}$

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 1.6

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$

Schritt 1.7

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 1.8

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 1.9

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 1.10

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} - 4 x$

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 1.11

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$

Schritt 1.12

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

					$x^{2}$	-	$2 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$

Schritt 1.13

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$

Schritt 1.14

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$
								+	$4 x$	+	$8$

Schritt 1.15

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x + 8$

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$
								-	$4 x$	-	$8$

Schritt 1.16

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

					$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
						+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
								+	$4 x$	-	$1$
								-	$4 x$	-	$8$
										-	$9$

Schritt 1.17

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x^{2} - 2 x + 4 - \frac{9}{x + 2}$

$x^{2} - 2 x + 4 - \frac{9}{x + 2}$

Schritt 2

Da der letzte Term im Ergebnisausdruck ein Bruch ist, ist der Zähler des Bruchs der Rest.

$- 9$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$