Algebra Beispiele

$3 e^{2 x} - 8 = 2 e^{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $2 e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 e^{2 x} - 8 - 2 e^{x} = 0$

Schritt 2

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

$3 {(e^{x})}^{2} - 8 - 2 e^{x} = 0$

Schritt 3

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$3 u^{2} - 8 - 2 u = 0$

Schritt 4

Bewege $- 8$ .

$3 u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 u$ heraus.

$3 u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $- 2$ um als $4$ plus $- 6$

$3 u^{2} + (4 - 6) u - 8 = 0$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} + 4 u - 6 u - 8 = 0$

Schritt 5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} + 4 u) - 6 u - 8 = 0$

Schritt 5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (3 u + 4) - 2 (3 u + 4) = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 4$ .

$(3 u + 4) (u - 2) = 0$

Schritt 5.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 u + 4 = 0$

$u - 2 = 0$

Schritt 5.3

Setze $3 u + 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze $3 u + 4$ gleich $0$ .

$3 u + 4 = 0$

Schritt 5.3.2

Löse $3 u + 4 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 u = - 4$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u = - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u = - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{4}{3}$

Schritt 5.4

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 5.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 5.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 u + 4) (u - 2) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{4}{3}, 2$

Schritt 6

Setze $- \frac{4}{3}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- \frac{4}{3} = e^{x}$

Schritt 7

Löse $- \frac{4}{3} = e^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - \frac{4}{3}$ um.

$e^{x} = - \frac{4}{3}$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{4}{3})$

Schritt 7.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- \frac{4}{3})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 7.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - \frac{4}{3}$

Keine Lösung

Schritt 8

Setze $2$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$2 = e^{x}$

Schritt 9

Löse $2 = e^{x}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 2$ um.

$e^{x} = 2$

Schritt 9.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Schritt 9.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 9.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Schritt 9.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (2)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (2)$

Dezimalform:

$x = 0.69314718 \dots$