Algebra Beispiele

$9^{6} = x^{3} \cdot 9^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} \cdot 9^{3} = 9^{6}$ um.

$x^{3} \cdot 9^{3} = 9^{6}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} \cdot 9^{3} = 9^{6}$ durch $9^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} \cdot 9^{3} = 9^{6}$ durch $9^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 9^{3}}{9^{3}} = \frac{9^{6}}{9^{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} \cdot 9^{3}}{9^{3}} = \frac{9^{6}}{9^{3}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{9^{6}}{9^{3}}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9^{6}$ und $9^{3}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $9^{3}$ aus $9^{6}$ heraus.

$x^{3} = \frac{9^{3} \cdot 9^{3}}{9^{3}}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x^{3} = \frac{9^{3} \cdot 9^{3}}{9^{3} \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} = \frac{9^{3} \cdot 9^{3}}{9^{3} \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} = \frac{9^{3}}{1}$

Schritt 2.3.1.2.4

Dividiere $9^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = 9^{3}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $9$ mit $3$ .

$x^{3} = 729$

Schritt 3

Subtrahiere $729$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 729 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe $729$ als $9^{3}$ um.

$x^{3} - 9^{3} = 0$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 9$ .

$(x - 9) (x^{2} + x \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 9) (x^{2} + 9 x + 9^{2}) = 0$

Schritt 4.3.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$(x - 9) (x^{2} + 9 x + 81) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x^{2} + 9 x + 81 = 0$

Schritt 6

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 7

Setze $x^{2} + 9 x + 81$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x^{2} + 9 x + 81$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 x + 81 = 0$

Schritt 7.2

Löse $x^{2} + 9 x + 81 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 9$ und $c = 81$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 81)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 81$ .

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 324}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.3

Subtrahiere $324$ von $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $- 243$ als $- 1 (243)$ um.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (243)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}$ um.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.7

Schreibe $243$ als $9^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $81$ aus $243$ heraus.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{81 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.7.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot (9 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.9

Bringe $9$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 81$ .

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Schritt 7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 324}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.3

Subtrahiere $324$ von $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.4

Schreibe $- 243$ als $- 1 (243)$ um.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (243)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}$ um.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.7

Schreibe $243$ als $9^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.4.1.7.1

Faktorisiere $81$ aus $243$ heraus.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{81 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.7.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot (9 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.1.9

Bringe $9$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.4.4

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $9 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 9 - (- 9 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (9) - (- 9 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (9 - 9 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 81$ .

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Schritt 7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 324}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.3

Subtrahiere $324$ von $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.4

Schreibe $- 243$ als $- 1 (243)$ um.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (243)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}$ um.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{243}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.7

Schreibe $243$ als $9^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.5.1.7.1

Faktorisiere $81$ aus $243$ heraus.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{81 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.7.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 9 \pm i \cdot (9 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.9

Bringe $9$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 9 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 9 - 9 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.5.4

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 9 - 9 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 9 - (9 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (9) - (9 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (9 + 9 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 9) (x^{2} + 9 x + 81) = 0$ wahr machen.

$x = 9, - \frac{9 - 9 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{9 + 9 i \sqrt{3}}{2}$