Algebra Beispiele

x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere

x

$x$ aus

x^{4} - 4 x^{3} + 8 x

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere

x

$x$ aus

x^{4}

$x^{4}$ heraus.

x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere

x

$x$ aus

- 4 x^{3}

$- 4 x^{3}$ heraus.

x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere

x

$x$ aus

8 x

$8 x$ heraus.

x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere

x

$x$ aus

x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ heraus.

x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere

x

$x$ aus

x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8$ heraus.

x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere

x^{3} - 4 x^{2} + 8

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Schritt 2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2.2.1.3

Setze

2

$2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

0

$0$ , folglich ist

2

$2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.3.1

Setze

2

$2$ in das Polynom ein.

2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Schritt 2.2.1.3.2

Potenziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

8 - 4 \cdot 2^{2} + 8

$8 - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Schritt 2.2.1.3.3

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

8 - 4 \cdot 4 + 8

$8 - 4 \cdot 4 + 8$

Schritt 2.2.1.3.4

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

4

$4$ .

8 - 16 + 8

$8 - 16 + 8$

Schritt 2.2.1.3.5

Subtrahiere

16

$16$ von

8

$8$ .

- 8 + 8

$- 8 + 8$

Schritt 2.2.1.3.6

Addiere

- 8

$- 8$ und

8

$8$ .

0

$0$

0

$0$

Schritt 2.2.1.4

2

$2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch

x - 2

$x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}$

Schritt 2.2.1.5

Dividiere

x^{3} - 4 x^{2} + 8

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ durch

x - 2

$x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert

0

$0$ .

x

$x$

2

$2$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

0 x

$0 x$

8

$8$

Schritt 2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

x^{3}

$x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$

Schritt 2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

x^{3} - 2 x^{2}

$x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$

Schritt 2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

- 2 x^{2}

$- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$

Schritt 2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$4 x$ $4 x$

Schritt 2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

- 2 x^{2} + 4 x

$- 2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$

Schritt 2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$

Schritt 2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$

Schritt 2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

- 4 x

$- 4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$

Schritt 2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$

Schritt 2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

- 4 x + 8

$- 4 x + 8$

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$

Schritt 2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$2 x$ $2 x$	-	$4$ $4$
$x$ $x$	-	$2$ $2$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$	+	$8$ $8$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	+	$0 x$ $0 x$
					+	$2 x^{2}$ $2 x^{2}$	-	$4 x$ $4 x$
							-	$4 x$ $4 x$	+	$8$ $8$
							+	$4 x$ $4 x$	-	$8$ $8$
										$0$ $0$

Schritt 2.2.1.5.16

Da der Rest gleich

0

$0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

x^{2} - 2 x - 4

$x^{2} - 2 x - 4$

x^{2} - 2 x - 4

$x^{2} - 2 x - 4$

Schritt 2.2.1.6

Schreibe

x^{3} - 4 x^{2} + 8

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ als eine Menge von Faktoren.

x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x^{2} - 2 x - 4 = 0

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 4

Setze

x

$x$ gleich

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Schritt 5

Setze

x - 2

$x - 2$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze

x - 2

$x - 2$ gleich

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere

2

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Schritt 6

Setze

x^{2} - 2 x - 4

$x^{2} - 2 x - 4$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze

x^{2} - 2 x - 4

$x^{2} - 2 x - 4$ gleich

0

$0$ .

x^{2} - 2 x - 4 = 0

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 6.2

Löse

x^{2} - 2 x - 4 = 0

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$ nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 2

$b = - 2$ und

c = - 4

$c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach

x

$x$ auf.

\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot - 4

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 4

$- 4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Addiere

4

$4$ und

16

$16$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe

20

$20$ als

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

20

$20$ heraus.

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache

\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

x = 1 \pm \sqrt{5}

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

x = 1 \pm \sqrt{5}

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

+

$+$ -Teil von

\pm

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.1

Potenziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot - 4

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 4

$- 4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.3

Addiere

4

$4$ und

16

$16$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.4

Schreibe

20

$20$ als

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

20

$20$ heraus.

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.4.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache

\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

x = 1 \pm \sqrt{5}

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 6.2.4.4

Ändere das

\pm

$\pm$ zu

+

$+$ .

x = 1 + \sqrt{5}

$x = 1 + \sqrt{5}$

x = 1 + \sqrt{5}

$x = 1 + \sqrt{5}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

-

$-$ -Teil von

\pm

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.1

Potenziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot - 4

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 4

$- 4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.3

Addiere

4

$4$ und

16

$16$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.4

Schreibe

20

$20$ als

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

20

$20$ heraus.

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.4.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Vereinfache

\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

x = 1 \pm \sqrt{5}

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 6.2.5.4

Ändere das

\pm

$\pm$ zu

-

$-$ .

x = 1 - \sqrt{5}

$x = 1 - \sqrt{5}$

x = 1 - \sqrt{5}

$x = 1 - \sqrt{5}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ wahr machen.

x = 0, 2, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}

$x = 0, 2, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

x < 1 - \sqrt{5}

$x < 1 - \sqrt{5}$

1 - \sqrt{5} < x < 0

$1 - \sqrt{5} < x < 0$

0 < x < 2

$0 < x < 2$

2 < x < 1 + \sqrt{5}

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$

x > 1 + \sqrt{5}

$x > 1 + \sqrt{5}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall

x < 1 - \sqrt{5}

$x < 1 - \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x < 1 - \sqrt{5}

$x < 1 - \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = - 4

$x = - 4$

Schritt 9.1.2

Ersetze

x

$x$ durch

- 4

$- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(- 4)}^{4} - 4 {(- 4)}^{3} + 8 (- 4) \geq 0

${(- 4)}^{4} - 4 {(- 4)}^{3} + 8 (- 4) \geq 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite

480

$480$ ist größer als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall

1 - \sqrt{5} < x < 0

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

1 - \sqrt{5} < x < 0

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = - 1

$x = - 1$

Schritt 9.2.2

Ersetze

x

$x$ durch

- 1

$- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 8 (- 1) \geq 0

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 8 (- 1) \geq 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite

- 3

$- 3$ ist kleiner als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall

0 < x < 2

$0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

0 < x < 2

$0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 1

$x = 1$

Schritt 9.3.2

Ersetze

x

$x$ durch

1

$1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1) \geq 0

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1) \geq 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite

5

$5$ ist größer als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall

2 < x < 1 + \sqrt{5}

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

2 < x < 1 + \sqrt{5}

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 3

$x = 3$

Schritt 9.4.2

Ersetze

x

$x$ durch

3

$3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 8 (3) \geq 0

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 8 (3) \geq 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite

- 3

$- 3$ ist kleiner als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.5

Teste einen Wert im Intervall

x > 1 + \sqrt{5}

$x > 1 + \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x > 1 + \sqrt{5}

$x > 1 + \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 6

$x = 6$

Schritt 9.5.2

Ersetze

x

$x$ durch

6

$6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(6)}^{4} - 4 {(6)}^{3} + 8 (6) \geq 0

${(6)}^{4} - 4 {(6)}^{3} + 8 (6) \geq 0$

Schritt 9.5.3

Die linke Seite

480

$480$ ist größer als die rechte Seite

0

$0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

x < 1 - \sqrt{5}

$x < 1 - \sqrt{5}$ Wahr

1 - \sqrt{5} < x < 0

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Falsch

0 < x < 2

$0 < x < 2$ Wahr

2 < x < 1 + \sqrt{5}

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Falsch

x > 1 + \sqrt{5}

$x > 1 + \sqrt{5}$ Wahr

x < 1 - \sqrt{5}

$x < 1 - \sqrt{5}$ Wahr

1 - \sqrt{5} < x < 0

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Falsch

0 < x < 2

$0 < x < 2$ Wahr

2 < x < 1 + \sqrt{5}

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Falsch

x > 1 + \sqrt{5}

$x > 1 + \sqrt{5}$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

x \leq 1 - \sqrt{5}

$x \leq 1 - \sqrt{5}$ oder

0 \leq x \leq 2

$0 \leq x \leq 2$ oder

$x \geq 1 + \sqrt{5}$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [0, 2] \cup [1 + \sqrt{5}, \infty)$

Schritt 12