Algebra Beispiele

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $8 x$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ heraus.

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8$ heraus.

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2.2.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Schritt 2.2.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Schritt 2.2.1.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 + 8$

Schritt 2.2.1.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$8 - 16 + 8$

Schritt 2.2.1.3.5

Subtrahiere $16$ von $8$ .

$- 8 + 8$

Schritt 2.2.1.3.6

Addiere $- 8$ und $8$ .

$0$

Schritt 2.2.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}$

Schritt 2.2.1.5

Dividiere $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ durch $x - 2$ .

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Schritt 2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

Schritt 2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$

Schritt 2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$

Schritt 2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Schritt 2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Schritt 2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Schritt 2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x + 8$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Schritt 2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$
										$0$

Schritt 2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 2 x - 4$

Schritt 2.2.1.6

Schreibe $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ als eine Menge von Faktoren.

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Setze $x^{2} - 2 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} - 2 x - 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.3

Addiere $4$ und $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Schritt 6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1 - \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$

$x > 1 + \sqrt{5}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1 - \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1 - \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{4} - 4 {(- 4)}^{3} + 8 (- 4) \geq 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $480$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $1 - \sqrt{5} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 - \sqrt{5} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 8 (- 1) \geq 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1) \geq 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 8 (3) \geq 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $- 3$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 1 + \sqrt{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1 + \sqrt{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 9.5.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{4} - 4 {(6)}^{3} + 8 (6) \geq 0$

Schritt 9.5.3

Die linke Seite $480$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1 - \sqrt{5}$ Wahr

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Falsch

$x > 1 + \sqrt{5}$ Wahr

$x < 1 - \sqrt{5}$ Wahr

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Falsch

$0 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Falsch

$x > 1 + \sqrt{5}$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 1 - \sqrt{5}$ oder $0 \leq x \leq 2$ oder $x \geq 1 + \sqrt{5}$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [0, 2] \cup [1 + \sqrt{5}, \infty)$

Schritt 12