Algebra Beispiele

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{(x + 3) (- 1 (- x) - 3)}$

Schritt 2.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{(x + 3) (- 1 (- x) - 1 (3))}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{x}{3 - x} + \frac{4 x + 7}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{4 x + 7}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))}$ zum Zähler.

$\frac{x}{3 - x} + \frac{- (4 x + 7)}{(x + 3) (- x + 3)}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x}{- x + 3} + \frac{- (4 x + 7)}{(x + 3) (- x + 3)}$

Schritt 3

Um $\frac{x}{- x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{- x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{- (4 x + 7)}{(x + 3) (- x + 3)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(- x + 3) (x + 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{- x + 3}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x (x + 3)}{(- x + 3) (x + 3)} + \frac{- (4 x + 7)}{(x + 3) (- x + 3)}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $(x + 3) (- x + 3)$ um.

$\frac{x (x + 3)}{(- x + 3) (x + 3)} + \frac{- (4 x + 7)}{(- x + 3) (x + 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x + 3) - (4 x + 7)}{(- x + 3) (x + 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 - (4 x + 7)}{(- x + 3) (x + 3)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 - (4 x + 7)}{(- x + 3) (x + 3)}$

Schritt 6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x - (4 x + 7)}{(- x + 3) (x + 3)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x - (4 x) - 1 \cdot 7}{(- x + 3) (x + 3)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4 x - 1 \cdot 7}{(- x + 3) (x + 3)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4 x - 7}{(- x + 3) (x + 3)}$

Schritt 6.7

Subtrahiere $4 x$ von $3 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 7}{(- x + 3) (x + 3)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x^{2} - x - 7}{(- (x) + 3) (x + 3)}$

Schritt 7.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{x^{2} - x - 7}{(- (x) - 1 (- 3)) (x + 3)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{x^{2} - x - 7}{- (x - 3) (x + 3)}$

Schritt 7.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 7.4.1

Schreibe $- (x - 3)$ als $- 1 (x - 3)$ um.

$\frac{x^{2} - x - 7}{- 1 (x - 3) (x + 3)}$

Schritt 7.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - x - 7}{(x - 3) (x + 3)}$