Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$ als Gleichung.

$y = \frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{{(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7} = x$ um.

$\frac{{(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{{(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7} = 7 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{{(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7} = 7 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}} = 7 x$

Schritt 3.4

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $7$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(7 x)}^{7}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache ${({(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(7 x)}^{7}$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y^{5} - 8)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(7 x)}^{7}$

Schritt 3.5.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{5} - 8)}^{1} = {(7 x)}^{7}$

Schritt 3.5.1.1.2

Vereinfache.

$y^{5} - 8 = {(7 x)}^{7}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(7 x)}^{7}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $7 x$ an.

$y^{5} - 8 = 7^{7} x^{7}$

Schritt 3.5.2.1.2

Potenziere $7$ mit $7$ .

$y^{5} - 8 = 823543 x^{7}$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{5} = 823543 x^{7} + 8$

Schritt 3.6.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 {(\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7})}^{7} + 8}$

Schritt 5.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$ an.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{{({(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{7^{7}}) + 8}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}}) + 8}$

Schritt 5.2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}}) + 8}$

Schritt 5.2.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{x^{5} - 8}{7^{7}}) + 8}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{x^{5} - 8}{7^{7}}) + 8}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1

Potenziere $7$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{x^{5} - 8}{823543}) + 8}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $823543$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{823543 (\frac{x^{5} - 8}{823543}) + 8}$

Schritt 5.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{x^{5} - 8 + 8}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.5.3.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Schritt 5.2.5.3.2

Addiere $x^{5}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Schritt 5.2.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{({(\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8})}^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe ${\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}}^{5}$ als $823543 x^{7} + 8$ um.

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Schritt 5.3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$ als ${(823543 x^{7} + 8)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{({({(823543 x^{7} + 8)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{({(823543 x^{7} + 8)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{({(823543 x^{7} + 8)}^{\frac{5}{5}} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{({(823543 x^{7} + 8)}^{\frac{5}{5}} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{((823543 x^{7} + 8) - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{(823543 x^{7} + 8 - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $823543 x^{7} + 8 - 8$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{(823543 x^{7} + 0)}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.2.2

Addiere $823543 x^{7}$ und $0$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{(823543 x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.3

Wende die Produktregel auf $823543 x^{7}$ an.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{823543^{\frac{1}{7}} {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.4

Schreibe $823543$ als $7^{7}$ um.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{{(7^{7})}^{\frac{1}{7}} {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.7

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{7}$

Schritt 5.3.3.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 5.3.3.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 x^{7 (\frac{1}{7})}}{7}$

Schritt 5.3.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 x^{7 (\frac{1}{7})}}{7}$

Schritt 5.3.3.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.3.9

Vereinfache.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{7}}}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{823543 x^{7} + 8}$