Algebra Beispiele

$f (x) = - 4 {(2 x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 9) (x^{2} - 5)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 4 {(2 x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 9) (x^{2} - 5)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 {(2 x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 9) (x^{2} - 5) = 0$ um.

$- 4 {(2 x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 9) (x^{2} - 5) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Schritt 1.2.3

Setze ${(2 x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze ${(2 x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse ${(2 x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 1.2.5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 1.2.5.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.5.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 1.2.5.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 1.2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 1.2.6

Setze $x^{2} - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x^{2} - 5$ gleich $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $x^{2} - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 5$

Schritt 1.2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 1.2.6.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 1.2.6.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.6.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 {(2 x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 9) (x^{2} - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, - 2, 3 i, - 3 i, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{1}{2}, 0), (- 2, 0), (\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {(0 + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {(0 + 2)}^{2} (0^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {(0 + 2)}^{2} (0^{2} + 9) (0^{2} - 5)$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = - 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $- 4 {(2 (0) + 1)}^{2} {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$ .

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = - 4 {(0 + 1)}^{2} {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $0$ und $1$ .

$y = - 4 \cdot 1^{2} {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - 4 \cdot 1 {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.5.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = - 4 {((0) + 2)}^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.5.5

Addiere $0$ und $2$ .

$y = - 4 \cdot 2^{2} ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.5.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = - 4 \cdot 4 ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.5.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = - 16 ({(0)}^{2} + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.5.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 16 (0 + 9) ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.5.9

Addiere $0$ und $9$ .

$y = - 16 \cdot 9 ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.5.10

Mutltipliziere $- 16$ mit $9$ .

$y = - 144 ({(0)}^{2} - 5)$

Schritt 2.2.5.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 144 (0 - 5)$

Schritt 2.2.5.12

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$y = - 144 \cdot - 5$

Schritt 2.2.5.13

Mutltipliziere $- 144$ mit $- 5$ .

$y = 720$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 720)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{1}{2}, 0), (- 2, 0), (\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 720)$

Schritt 4