Algebra Beispiele

$\frac{\tan (\frac{5 π}{8}) - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{5 π}{8})$ ist $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{5 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{\tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\frac{- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.6

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.13

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.14

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.15

Vereinfache.

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.4.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.18

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.19.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2$ und $2$ .

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Schritt 1.1.4.19.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.19.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.4.4

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.20

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.21

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{3 π}{8})$ ist $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{3 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \tan (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.3

Ändere $\pm$ zu $+$ weil der Tangens im 1. Quadranten positiv ist.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$ .

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Schritt 1.2.4.1

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.6

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.13

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.14

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.15

Vereinfache.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.18

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.19.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.19.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.19.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.19.5.4.4

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.20

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.2.4.21

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 1.3

Subtrahiere $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ von $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{5 π}{8})$ ist $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Schreibe $\frac{5 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.6

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.13

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.14

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.15

Vereinfache.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.18

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.19.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2$ und $2$ .

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Schritt 2.1.4.19.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.19.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.19.5.4.4

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.20

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.1.4.21

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

Schritt 2.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{3 π}{8})$ ist $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{3 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \tan (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})}$

Schritt 2.2.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}})}$

Schritt 2.2.3

Ändere $\pm$ zu $+$ weil der Tangens im 1. Quadranten positiv ist.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

Schritt 2.2.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

Schritt 2.2.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

Schritt 2.2.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

Schritt 2.2.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

Schritt 2.2.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

Schritt 2.2.4.6

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}}$

Schritt 2.2.4.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Schritt 2.2.4.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Schritt 2.2.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}$

Schritt 2.2.4.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Schritt 2.2.4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Schritt 2.2.4.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}$

Schritt 2.2.4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}$

Schritt 2.2.4.13

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}$

Schritt 2.2.4.14

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Schritt 2.2.4.15

Vereinfache.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.4.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.4.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.4.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.4.18

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Schritt 2.2.4.19

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.4.19.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 2.2.4.19.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Schritt 2.2.4.19.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.19.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Schritt 2.2.4.19.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Schritt 2.2.4.19.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.19.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.19.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.19.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}}$

Schritt 2.2.4.19.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}}$

Schritt 2.2.4.19.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.19.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}}$

Schritt 2.2.4.19.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}}$

Schritt 2.2.4.19.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}}$

Schritt 2.2.4.19.5.4.4

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}}$

Schritt 2.2.4.20

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}}$

Schritt 2.2.4.21

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Schritt 2.3

Multipliziere $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 2.3.1

Potenziere $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - ({\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - ({\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1})}$

Schritt 2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe ${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ als $3 + 2 \sqrt{2}$ um.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ als ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

Schritt 2.4.5

Vereinfache.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 2.8

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $- 2 - 2 \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1) - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1) + 2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 1) + 2 (- \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1 - \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1 - \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}} \cdot \frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}})$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{(- 1 - \sqrt{2}) (- 1 + \sqrt{2})}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{- 1}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})))$

Schritt 5.4.2

Schreibe $- 1 \cdot (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$ als $- (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$ um.

$- - (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- - (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \cdot - 1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2})$

Schritt 5.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- - (- 1 \cdot \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2})$

Schritt 5.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- - (- 1 \cdot \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 6

Schreibe $- 1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ als $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ um.

$- - (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$- (- - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 8

Multipliziere $- - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- (1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$- (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 9

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Schritt 10

Multipliziere $- - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ .

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + 1 \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ mit $1$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Dezimalform:

$1$