Algebra Beispiele

$y - 5 = {(x - 2)}^{2}$ $x + 2 y = 6$

Schritt 1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $6 - 2 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $y - 5 = {(x - 2)}^{2}$ durch $6 - 2 y$ .

$y - 5 = {((6 - 2 y) - 2)}^{2}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${((6 - 2 y) - 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1.1

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$y - 5 = {(- 2 y + 4)}^{2}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe ${(- 2 y + 4)}^{2}$ als $(- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$ um.

$y - 5 = (- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = (- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $(- 2 y + 4) (- 2 y + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = - 2 y (- 2 y + 4) + 4 (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y + 4)$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = - 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 2 y \cdot 4 + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y - 8 y + 4 \cdot 4$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y - 8 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 8 y - 8 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 2.2.1.3.2

Subtrahiere $8 y$ von $- 8 y$ .

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

$y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3

Löse in $y - 5 = 4 y^{2} - 16 y + 16$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 y^{2} - 16 y + 16 = y - 5$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 16 y + 16 - y = - 5$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $y$ von $- 16 y$ .

$4 y^{2} - 17 y + 16 = - 5$

$x = 6 - 2 y$

$4 y^{2} - 17 y + 16 = - 5$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 17 y + 16 + 5 = 0$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.3.2

Addiere $16$ und $5$ .

$4 y^{2} - 17 y + 21 = 0$

$x = 6 - 2 y$

$4 y^{2} - 17 y + 21 = 0$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 17$ und $c = 21$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 21)}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 17$ mit $2$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 21$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 16 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $21$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.6.1.3

Subtrahiere $336$ von $289$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $- 47$ als $- 1 (47)$ um.

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (47)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ um.

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $- 17$ mit $2$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 21$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 16 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $21$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.7.1.3

Subtrahiere $336$ von $289$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.7.1.4

Schreibe $- 47$ als $- 1 (47)$ um.

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (47)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ um.

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $- 17$ mit $2$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 21$ .

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Schritt 3.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 16 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $21$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 336}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.8.1.3

Subtrahiere $336$ von $289$ .

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.8.1.4

Schreibe $- 47$ als $- 1 (47)$ um.

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (47)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ um.

$y = \frac{17 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 4}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{17 \pm i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}, \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}, \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 2 y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 6 - 2 y$ durch $\frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$ .

$x = 6 - 2 \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $6 - 2 \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x = 6 + 2 (- 1) (\frac{17 + i \sqrt{47}}{8})$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 4.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 4.2.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 6 - 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 4.2.1.1.2

Schreibe $- 1 \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$ als $- \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$ um.

$x = 6 - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 4.2.1.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $6$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{17 + i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 6 - 2 y$ durch $\frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$ .

$x = 6 - 2 \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $6 - 2 \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x = 6 + 2 (- 1) (\frac{17 - i \sqrt{47}}{8})$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 5.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 6 + 2 \cdot (- 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{2 \cdot 4})$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 5.2.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 6 - 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 5.2.1.1.2

Schreibe $- 1 \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$ als $- \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$ um.

$x = 6 - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = 6 - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 5.2.1.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $6$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{17 - i \sqrt{47}}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}$

$y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{7 - i \sqrt{47}}{4}, y = \frac{17 + i \sqrt{47}}{8}$

$x = \frac{7 + \sqrt{47} i}{4}, y = \frac{17 - i \sqrt{47}}{8}$

Schritt 7