Algebra Beispiele

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 5}{25 - 4 x^{2}}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} - 3 (x) - 5}{25 - 4 x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $2$ plus $- 5$

$\frac{2 x^{2} + (2 - 5) x - 5}{25 - 4 x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5}{25 - 4 x^{2}}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x) - 5 x - 5}{25 - 4 x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{25 - 4 x^{2}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{25 - 4 x^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{5^{2} - 4 x^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{5^{2} - {(2 x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = 2 x$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{(5 + 2 x) (5 - (2 x))}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x - 5$ und $5 - 2 x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{(x + 1) (- (- 2 x) - 5)}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{(x + 1) (- (- 2 x) - 1 (5))}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{(x + 1) (- (- 2 x + 5))}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- (- 2 x + 5)$ als $- 1 (- 2 x + 5)$ um.

$\frac{(x + 1) (- 1 (- 2 x + 5))}{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}$

Schritt 3.1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 1) (- 1 (- 2 x + 5))}{(5 + 2 x) (- 2 x + 5)}$

Schritt 3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (- 1 (- 2 x + 5))}{(5 + 2 x) (- 2 x + 5)}$

Schritt 3.1.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 1) \cdot (- 1)}{5 + 2 x}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + 1)}{5 + 2 x}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 1}{5 + 2 x}$