Algebra Beispiele

$\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{9 + x} > 0$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{9 + x}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{2 x + 5} > \sqrt{9 + x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{2 x + 5}}^{2} > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 5}$ als ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x + 5)}^{1} > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$2 x + 5 > {\sqrt{9 + x}}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Schreibe ${\sqrt{9 + x}}^{2}$ als $9 + x$ um.

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Schritt 3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 + x}$ als ${(9 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x + 5 > {({(9 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 5 > {(9 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x + 5 > {(9 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + 5 > {(9 + x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + 5 > {(9 + x)}^{1}$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache.

$2 x + 5 > 9 + x$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x + 5 - x > 9$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$x + 5 > 9$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x > 9 - 5$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$x > 4$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{9 + x}$ .

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Schritt 5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x + 5}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x + 5 \geq 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq - 5$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{5}{2}$

Schritt 5.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{9 + x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$9 + x \geq 0$

Schritt 5.4

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 9$

Schritt 5.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \frac{5}{2}, \infty)$

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > 4$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x > 4$

Intervallschreibweise:

$(4, \infty)$

Schritt 8