Algebra Beispiele

$5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} = 120 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Subtrahiere $120 x^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $5 x^{\frac{1}{2}}$ aus $5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $5 x^{\frac{1}{2}}$ aus $5 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $5 x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 10 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}}) - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $5 x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 120 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $5 x^{\frac{1}{2}}$ aus $5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}})$ heraus.

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $5 x^{\frac{1}{2}}$ aus $5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24)$ heraus.

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}} - 24) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}} - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 6, 4$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{2}{2}} - 6) (x^{\frac{2}{2}} + 4)) = 0$

Schritt 4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x - 6) (x^{\frac{2}{2}} + 4)) = 0$

Schritt 5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Schritt 6

Entferne unnötige Klammern.

$5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 8

Setze $x^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 8.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 8.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 8.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 8.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 9

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 10

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 6, - 4$

Schritt 12

Schließe die Lösungen aus, die $5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0, 6$