Algebra Beispiele

$5 \sqrt{x - 3} - 2 \leq 13$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $5 \sqrt{x - 3}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$5 \sqrt{x - 3} \leq 13 + 2$

Schritt 1.2

Addiere $13$ und $2$ .

$5 \sqrt{x - 3} \leq 15$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(5 \sqrt{x - 3})}^{2} \leq 15^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 3}$ als ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 15^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$5^{2} {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 15^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$25 {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 15^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 15^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 15^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$25 {(x - 3)}^{1} \leq 15^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$25 (x - 3) \leq 15^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x + 25 \cdot - 3 \leq 15^{2}$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $25$ mit $- 3$ .

$25 x - 75 \leq 15^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$25 x - 75 \leq 225$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $75$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$25 x \leq 225 + 75$

Schritt 4.1.2

Addiere $225$ und $75$ .

$25 x \leq 300$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $25 x \leq 300$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $25 x \leq 300$ durch $25$ .

$\frac{25 x}{25} \leq \frac{300}{25}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 x}{25} \leq \frac{300}{25}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{300}{25}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $300$ durch $25$ .

$x \leq 12$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $5 \sqrt{x - 3} - 15$ .

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Schritt 5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 3 \geq 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 3$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[3, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 3$

$3 < x < 12$

$x > 12$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 \sqrt{(0) - 3} - 2 \leq 13$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 \sqrt{(8) - 3} - 2 \leq 13$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $9.18033988$ ist kleiner als die rechte Seite $13$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 14$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 \sqrt{(14) - 3} - 2 \leq 13$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $14.58312395$ ist größer als die rechte Seite $13$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 3$ Falsch

$3 < x < 12$ Wahr

$x > 12$ Falsch

$x < 3$ Falsch

$3 < x < 12$ Wahr

$x > 12$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$3 \leq x \leq 12$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$3 \leq x \leq 12$

Intervallschreibweise:

$[3, 12]$

Schritt 10